同济六版高等数学上下册课后习题答案10-6

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1 利用高斯公式计算曲面积分

(1)x2dydz y2dzdx z2dxdy 其中 为平面x 0 y 0 z 0 x a

y a z a所围成的立体的表面的外侧

解 由高斯公式

Q R )dv 2 (x y z)dv 原式 ( P x y z

6 xdv 6 xdx dy dz 3a4(这里用了对称性)

000aaa

(2)x3dydz y3dzdx z3dxdy 其中 为球面x2 y2 z2 a2的外侧

解 由高斯公式

Q R )dv 3(x2 y2 z2)dv 原式 ( P x y z

2 a 3 d si nd r4dr 12 a5 0005

(3)xz2dydz (x2y z3)dzdx (2xy y2z)dxdy 其中 为上半球体

x2 y2 a2 0 z a2 x2 y2的表面外侧

解 由高斯公式

Q R )d (z2 x2 y2)dv 原式 ( P x y z

d 02 a2d r2r2s00 in dr 2 a5 5

(4)xdydz ydzdx zdxdy其中 界于z 0和z 3之间的圆柱体

x2+y2 9的整个表面的外侧

解 由高斯公式

Q R 原式 ( P )dv 3dv 81 x y z

(5)4xzdydz y2dzdx yzdxdy 其中 为平面x 0 y 0 z 0 x 1

y 1 z 1所围成的立体的全表面的外侧

解 由高斯公式

Q R dv (4z 2y y)dv 原式 ( P x y z

dx dy (4z y)dz 3 0002

2 求下列向量A穿过曲面 流向指定侧的通量 111

(1)A yzi+xzj+xyk 为圆柱x y2 a2(0 z h )的全表面 流向外侧 解 P yz Q xz R xy

yzdydz xzdzdx xydxdy

(

(yz) (xz) (xy) )dv 0dv 0 x y z

(2)A (2x z)i x2yj xz2k 为立方体0 x a 0 y a 0 z a

的全表面 流向外侧

解 P 2x z Q x2y R xz2

Pdydz Qdzdx Rdxdy

Q r )dv (2 x2 2xz)dv ( P x y z

2a dx dy (2 x 2xz)dz a(2 0006

(3)A (2x 3z)i (xz y)j (y2 2z)k 是以点(3 1 2)为球心 aaa23半径R 3的球面 流向外侧

解 P 2x 3z Q (xz y) R y2 2z

Pdydz Qdzdx Rdxdy

Q R ( P dv (2 1 2)dv 3dv 10 8 x y z

3 求下列向量A的散度

(1)A (x2 yz)i (y2 xz)j (z2 xy)k

解 P x2+yz Q y2 xz R z2 xy

Q R diAv P 2x 2y 2z 2(x y z) x y z

(2)A exyi cos(xy)j cos(xz2)k

解 P exy Q cos(xy) R cos(xz2)

Q R diAv P yexy xsinxy 2xzsinxz(2) x y z

(3)A y2zi xyj xzk

解 P y2 Q xy R xz

Q R diAv P 0 x x 2x x y z

4 设u (x y z)、v (x y z)是两个定义在闭区域 上的具有二阶连续 偏导数的函数 u v依次表示u (x y z)、v (x y z)沿 的外法线方向 n n

的方向导数 证明

v v udS u v v u)dxdydz (u n n

其中 是空间闭区间 的整个边界曲面 这个公式叫作林第二公式 证明 由第一格林公式(见书中例3)知

222 v v dxdy dz u(2 2 v

2 x y z

d u vdS ( u v u v u v)dxdy z n x x y y z z

222 u u dxdy dz v( u

x y z

v udS ( u v u v u vdxdy d z n x x y y z z

将上面两个式子相减 即得

222222 v v v u u dxdy d [u(2 2 2) v(2 2 u 2 x y z x y z

(u v v udS n n

5 利用高斯公式推证阿基米德原理 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上 大小等于这物体所排开的液体的重力 证明 取液面为xOy面 z轴沿铅直向下 设液体的密度为 在物 体表面 上取元素dS上一点 并设 在点(x y z)处的外法线的方向余 弦为cos cos cos 则dS所受液体的压力在坐标轴x y z上的分量 分别为

zcos dS zcos dS zcos dS

所受的压力利用高斯公式进行计算得

Fx zco sdS 0dv 0

Fy zco sdS 0dv 0

Fz zco sdS dv dv | |

其中| |为物体的体积 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力 其方向铅直向上 大小等于这物体所排开的液体所受的重力 即阿基 米德原理得证