第三章部分习题解答与提示

第三章部分习题解答与提示 P99习 题 3----1

8. 若函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，且f(x1) f(x2) f(x3)，其中

a x1 x2 x3 b，证明：至少存在一点 (x1 , x3)，使得f ( ) 0。

提示：由洛尔定理得

1 x1,x2 ,f ( 1) 0 2 x2,x3 ,f ( 2) 0

对f (x)在（ 1， 2）上再用洛尔定理得，

（ 1， 2） x1,x3 ,f ( ) 0.

9. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，且f(x)不恒等于常数，证明：在(a , b)内至少存在一点 ，使得f ( ) 0。

提示：f(x)不恒为常数，则 1 (a,b),f( 1) f(a),

不妨设f( 1) f(a)

在(a, 1)上用拉格朗日中值定得： (a, 1)，使得f ( )

f( 1) f(a)

0

1 a

在开区间(a,b)内可导，且f(a) f(b) 0，证明：10.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，

至少存在一点 (a ,b)，使得f( ) xf ( ) 0。

提示：对 (x) xf(x)在 a,b 上用洛尔定理.

11. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导(0 a b)，证明：至少存在一点 (a , b)，使f(b) f(a) f ( )ln

b

。 a

lnx在 a,b 上用柯西定理.提示：对f(x)、

f(b) f(a)f ( )

lnb lna

12. 证明：若函数f(x)在( , )内满足关系式f (x) f(x)，且f(0) 1，那么

f(x) ex。

提示：由条件可得

f (x) f(x) 0,即 e xf(x) 0 ef(x) C,又 f(0) 1,得C 1

e xf(x) 1,即f(x) ex

13. 假设函数f(x)在x 0的某邻域内具有n阶导数，且

x

f(0) f (0) f

(n 1)

(0 1)。

f(x)f(n)( x)

(0) 0，试用柯西中值定理证明：n

n!x

提示：连续用n 次柯西中值公式

f(x)f(x) f(0)f ( 1)

,xnxn 0n 1n 1

f(n)( n)f ( 1)f ( 1) f (0)f ( 2)

n 1n 1n 1n 1 0n(n 1) 2n 2n!

P106习 题 3-2

g(x)

, x 0

3.设f(x) x，其中g(x)具有二阶导数，并且g(0) g (0) 0，

0 , x 0

g (0) a，求f (0)。

f(x) f(0)g(x)

lim2提示：f (0) lim

x 0x 0xx

g (x)1g (x) g (0)1 lim lim g (0)x 02x2x 0x 02

P121 习 题 3----4

12. 要在飞机场的停机坪两旁装灯，已知停机坪的宽度为l米(如图3-13)，问灯要装多高才能使停机坪中间照得最亮？（一点P的照度J 与光源之间的距离，k是比例系数。

）

kcos

，其中 是光线的入射角，r是P2

r

cos 提示：

x

r

J

kx 2 l x 2

2

32

J (x) 0,得x

13. 一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1000元时，公寓能全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，问房租定为多少元时可获得最大收入？

提示：设租出x套，

y (1000 50x 100)(50 x)

y 0,得x 16,租金为1000 50x 1800

P125习 题 3----5

6.设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且

(x x0)n

根据n的取值，讨论(x0,f(x0))是否为曲线y f(x)的拐点。

x x0

lim

f(x) f(x0) f (x0)(x x0)

a2 （n为正整数，a 0）

f(x) f(x0) f (x0)(x x0)

a2 0nx x0(x x0)

f(x) f(x0) f (x0)(x x0)

U(x0), 0n

(x x0)lim提示：

n 1(因为，若n 1,可推得a 0,矛盾）1n为奇数，（）

x x0时，f(x) f(x0) f (x0)(x x0),切线在曲线下方， x x0时，f(x) f(x0) f (x0)(x x0),切线在曲线上方， （x0,f(x0))是拐点。

（2）n为偶数， x U(x0),总有f(x) f(x0) f (x0)(x x0)即切线总在曲线的下方，故（x0,f(x0))不是拐点。

总习题3

1.选择题

（1）设y f(x)满足方程y 2y 4y e在点x0处（ ）

（A）取得极大值（B）某个邻域内单调增加（C）取得极小值（D）某个邻域内单调减少

sinx

，且f(x0) 0，f (x0) 0，则函数f(x)

x0) esinx 4y(x0) 0 提示：y（

（2）设f (x0)存在，且f (x0) 0，f (x0) 0，则下列结论成立的是（ ） （A）x0是f(x)的极小值点 （B）x0是f(x)的极大值点 （C）(x0,f(x0))是曲线y f(x)的拐点 （D）x0是f(x)的驻点

f (x) f (x0)f (x)

lim 0

x x0x x0x xx x00

f (x)

不妨设f(x0) 0,则有 o,

x x0提示：f (x0) lim

所以f (x)与（x x0）同号，所以选C.

（5）若函数f(x)在区间(0, )内二阶可导，且limf (x) 0，则对任意正常数a，必

x

有（ ）

（A）lim[f (x a) f (x)] 1 （B）lim[f (x a) f (x)] 0

x

x

（C）lim[f (x a) f (x)] （D）lim[f (x a) f (x)]不存在

x

x

提示： lim[f (x a) f (x)] limf ( )a 0

x

（6）设f(x)在[0, 1]上，满足f (x) 0，则f (1)、f (0)和f(1) f(0)的大小顺序为（ ）

（A）f (1) f (0) f(1) f(0) （B）f (1) f(1) f(0) f (0) （C）f(1) f(0) f (1) f (0) （D）f (1) f(0) f(1) f (0)

提示：f (x) 0 f (x)单调增

f(1) f(0) f ( ),0 1,再利用f 单调性即得B.

2.填空题 （6）设0 a

1

，则函数f(x) lnx ax在(0, )e

11 a 0,得x xa

解：令f(x) lnx ax，f (x)

0 x

1

,f (x) 0,f(x)单调增a

1

x 时，f (x) 0,f(x)单调减

a11

f( ln 1为极大值。

aa

111

0 a 1, f( ln 1 0

eaa

f(x) ,limf(x) 又 lim

x 0

x

f(x) 0在（0，+ ）内有且只有两个根，11

)和(，+ ）内。

aa

5.已知数列3,3 lg2,3 2lg2, ,3 (n 1)lg2, ，问前多少项和为最大。

提示:设Sn 3 (3 lg2) (3 2lg2) (3 (n 1)lg2) 3n (1 2 (n 1)lg2) 3n 先求S(x) 3x

(n 1)n

lg22

(x 1)x

lg2,(x 0)的最大值。261

令S (x) 0，得x 10,(lg2 0.3010)

2lg22又因为S10 S11

所以，前10项和最大。

6. 求椭圆x xy y 3上纵坐标最大和最小的点。

22

解：x2 xy y2 32x y xy 3yy 0

令y 0,得2x y 0，y 2x,代入原方程得到x2 1,x 1又 由2x y xy 3yy 0得2 y xy y 3(y )2 3yy 0

2

x 1,y 2时，2 xy 3yy 0，y (1) 0,y(1)取极大值，也是最大。

52

x 1,y 2时，2 xy 3yy 0，y (1) 0,y(1)取极小值，也是最小。

5

8. 设f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内二阶可导，过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0 c 1，证明在(0, 1)内至少存在一点 ，使得f ( ) 0。

提示：由拉格朗日定理得

f(c) f(0)c 0f(1) f(c)

2 c,1 ,f ( 2)

1 c

f(c) f(0)f(1) f(c)

因为A、B、C共线，所以

c 01 c

即f ( 1) f ( 2)

1 0,c ,f ( 1) …… 此处隐藏：2446字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……