Jordan标准形简介

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*§6 Jordan标准形简介 § 标准形简介

第五章

教学目的： 教学目的：通过本节的教学使学生更深刻理解方阵相 似对角矩阵的内涵,了解不能相似于对角矩阵的方阵可相似 于Jordan标准形. 教学要求：正确理解Jordan标准形的概念，掌握求一 教学要求 个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法. 教学重点： 教学重点：求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准 形的方法. 教学难点： 教学难点：化方阵为Jordan标准形. 教学时间：2学时. 教学时间机动 目录 上页 下页 返回 结束

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*§ 6

Jordan标准形简介 标准形简介

第五章

我们在讨论方阵的对角化时知道,并不是所有的方阵都 能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关系下的最简 形是否存在?如果存在又取何种形式？Jordan标准形的相关 结果就完美地回答了这一问题. Jordan标准形理论的建立需要较多的其它代数知识.限 于需要和可能，我们仅从实用的角度介绍Jordan标准形理论 的主要结果及Jordan标准形的具体求法. 6.1多项式矩阵及其初等变换 多项式矩阵及其初等变换 定义6.1 如果矩阵中每个元素都是变量λ的多项式，则 定义 称该多项式为λ的多项式矩阵 多项式矩阵，简称λ-矩阵. 多项式矩阵 元素是数的矩阵称为数元矩阵 数元矩阵，数元矩阵是特殊的多 数元矩阵 项式矩阵.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定义6.2 对多项式矩阵A(λ)的如下三种变换统称为初等 定义 变换. i)用一个非零数k乘A(λ)的某行(列); ii)将A(λ)中的某行(列)的g(λ)倍加于另一行(列)(其中 g(λ)是的λ多项式); iii)互换A(λ)的两行(列). 定义6.3 设A(λ)和B(λ)是两个同型的多项式矩阵，如果 定义 A(λ)可以经过有限次初等变换化为B(λ),则说A(λ) 与B(λ) 等价，记作A(λ) B(λ). 等价 对于n阶数元矩阵A,其特征矩阵λE-A是一个特定的多 项式矩阵.关于特征矩阵有如下的结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定理6.1 对于n阶数元矩阵A ,总有 定理 g1 (λ ) g 2 (λ ) λ E A G (λ ) =

, O g n (λ )

其中g1(λ), g2(λ),…, gn(λ)都是首项系数为1的多项式.并且 g (λ) 1 . |λE-A|= g1(λ) g2(λ) …gn(λ). (*) 由于λE-A经过有限次的初等变换得到G(λ),根据初等 变换对矩阵相应行列式的影响，可知|G(λ)|与|λE-A|最多相 差非零常数倍.再注意到|G(λ)|与|λE-A|都是首项系数为1的 多项式，便知(*)成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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定义6.4 对于n阶数元矩阵A ,设λE-A经过初等变换 定义 化为对角矩阵G(λ).将g1(λ), g2(λ),…, gn(λ)中的每个非常数多 项式做复数域上的标准分解，各分解式中的每一个

一次因 式方幂称为矩阵A的一个初等因子，初等因子的全体成为A 的初等因子组. 例如，对于2阶数元矩阵A,若有 例如 1 1 , λE A λ (λ 1) 1 λ (λ 1) 2 则A的初等因子组为 λ , λ-1, λ,( λ-1)2.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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由定义6.4 及(*)知： 1)方阵A的所有初等因子的乘积就是A的特征多项式； 2)每个初等因子都和矩阵A的某个特征值相应，即如 mi 果(λ λi ) 是A的一个初等因子,则λi一定是A的一个特征值； 3)n阶方阵A的所有初等因子幂次之和恰为n. 在此必须指出:方阵A与某一特征值相应的初等因子未 必只有一个.因此,一般不能从A的特征多项式的标准分解式

ψ (λ ) = (λ λ1 ) n (λ λ2 ) n L (λ λt ) n1 2

t

(λ λ1 ) n1 (λ λ2 ) n2 L (λ λt ) nt . 直接得到初等因子组为 为求给定方阵A的初等因子组，需要对特征矩阵λE-A 进行适当的初等变换将其化为对角矩阵.这样的对角矩阵并 不惟一.由此会不会导致初等因子组的不同呢？可以证明， 在不计各初等因子组相互次序的意义下，给定方阵A的初 等因子组是惟一的，不会因为λE-A所化成的对角矩阵不同 而有所改变.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例6.1 求矩阵 1 1 0 A = 4 3 0 0 0 5 的初等因子组. 解 对λE-A进行初等变换如下：0 1 λ + 1 0 λ + 1 1 4 c c λ 3 4 0 λE A = λ 3 0 uuuuuuuu 1 2 r 0 λ 5 0 0 λ 5 0

0 1 λ + 1 0 0 1 ( λ 3) r + r 2 → 0 , (λ + 1)c1 + cr λ 3 4 0 0 (λ 1) 2 uuuuuuuuuuuuu r ×( 1) 0 0 λ 5 0 λ 5 0 1 2 1

由此得A的初等因子为：(λ-1)2, λ-5.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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6.2 矩阵的 矩阵的Jordan标准形 标准形 定理6.2 在复数域上,如果n阶矩阵A的全部初等因子为 定理

(λ λ1 ) m1 , (λ λ2 ) m2 ,L , (λ λs ) ms .

则

J1 J2 , 其中 A J= O Js λi 1 λi 1 Ji = O O O

, i=1,2 ,L s. 1 λi m ×m i i

定理6.2中的分块对角矩阵J称为A的Jordan标准形 标准形,简称为 标准形 Jordan形. Jordan形J中的各个小块J1,J2,…,Js称为Jordan块.

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(λ λi ) mi 相对应. 显然,每个Jordan块Ji恰于A的一个初等因子在例6.1中，矩阵A的初等因子组为(λ-1), λ-5,与之相应 的两个Jordan块为 1 1 J1 = J 2 = (5). , 1 于是A的Jordan标准形为 1 1 J1 . J = = 1 J2 5 亦可以写成 5 J2 . J = = 1 1

J1 1 机动 目录 上页 下页 返回

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例6.2 求矩阵 1 1 1 A= 1 0 2 1 1 1 的Jordan标准形. 解对A的特征矩阵λE-A进行初等变换化为对角矩阵， 1 λ + 1 λ + 1 1 1 1 r r → λ E A = 1 λ 2 1 λ 2 λ + 1 1 1 1 1 λ + 1 1 3

0 0 1 0 1 0 c1 +c2 -r +r2 1 1 λ 1 λ 3 0 λ 1 λ 3 → (λ+1)c1 +c3 (λ+1)r1+r3 → 2 λ +1 λ λ + 2λ 0 λ λ2 + 2λ

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1 r1 ×( 1) 0 → r2 ×( 1) 0 1 r3 + r2 0 → 0

0 1 λ

λ0

0 λ +3 λ 2 + 2λ

1 λ 2 + 3λ + 3 λ λ 2 + 2λ 0

0 1 0 - λ r2 + r3 0 1 → λ 2 + 3λ + 3 0 0 λ 3 2λ 2 λ 0 1 0 ( λ 2 + 3λ + 3) c2 + c3 . 0 1 → 0 r3 ×( 1) 0 0 λ (λ + 1) 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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对所得的对角矩阵主对角元素的非常数多项式进行复数域 上的标准分解，可得A的初等因子组为 λ , (λ+1)2. 与两个初等因子相应的Jordan小块分别为

J1 = (0),

1 1 J2 = , 1

于是可得A的Jordan标准形

J1 J =

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