高等代数精品课程北京大学第三版

第一学期第一次课

第一章代数学的经典课题

§1若干准备知识

1.1.1代数系统的概念

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2数域的定义

定义（数域）设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有

a±b∈K，ab∈K，且当b≠0时，a/b∈K，则称K为一个数域。

例1.1典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q(i)={a+bi|a,b∈Q}，其中i= 1。

任意数域K都包括有理数域Q。

证明设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素a∈K，且a≠0。于是

0=a a∈K，

进而 m∈Z>0,

1=

a

∈K。a

m=1+1+……+1∈K。

最后， m,n∈Z>0，

mmm

∈K， =0 ∈K。这就证明了Q K。证毕。nnn

1.1.3集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义(集合的交、并、差)设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作A∩B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，记做A∪B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做A\B。

定义（集合的映射）设A、B为集合。如果存在法则f，使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素（记做f(a)），则称f是A到B的一个映射，记为

f:A→B,

a f(a).

如果f(a)=b∈B，则b称为a在f下的像，a称为b在f下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像，记做f(A)，即f(A)={f(a)|a∈A}。

若 a≠a'∈A,都有f(a)≠f(a'),则称f为单射。若 b∈B,都存在a∈A，使得f(a)=b，则称f为满射。如果f既是单射又是满射，则称f为双射，或称一一对应。1.1.4求和号与求积号

1．求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K上n个数a1,a2, ,an，我们使用如下记号：

a1+a2+ +an=∑ai,

i=1

n

a1a2 an=∏ai.

i=1

n

当然也可以写成

a1+a2+......+an=a1a2......an=

2.求和号的性质.容易证明，

1≤i≤n

∑a

i

i

,

1≤i≤n

∏a

.

λ∑ai=∑λai

i=1

i=1

nn

∑(a

i=1

n

n

i

+bi)=∑ai+∑bi

i=1

i=1

m

nn

∑∑a

i=1j=1

ij

=∑∑aij

j=1i=1

mn

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

a11a12a21a22......

an1an2

分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课

........................

a1ma2m......anm

§2一元高次代数方程的基础知识

1.2.1高等代数基本定理及其等价命题

1.高等代数基本定理

设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果

f(x)=a0xn+a1xn 1+......+an∈K[x],(a0≠0)，则称n为f(x)的次数，记为degf(x)。

定理（高等代数基本定理）C[x]的任一元素在C中必有零点。命题

设f(x)=a0xn+a1xn 1+......+an,(a0≠0，n≥1)是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C

上首项系数为a0的n 1次多项式q(x)，使得

f(x)=q(x)(x a)+f(a)

证明推论

对n作数学归纳法。

。x0为f(x)的零点，当且仅当(x x0)为f(x)的因式（其中degf(x)≥1）

命题（高等代数基本定理的等价命题）设f(x)=a0xn+a1xn 1+......+an(a0≠0，n≥1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使

f(x)=a0(x α1)(x α2)......(x αn)

证明

利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。

2．高等代数基本定理的另一种表述方式

定义

设K是一个数域，x是一个未知量，则等式

a0xn+a1xn 1+......+an 1x+an=0

成等式，则称α为方程（1）在K中的一个根。

（1）

（其中a0,a1,......,an∈K,a0≠0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x=α∈K带入（1）式后使它变

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域K上的n(≥1)次代数方程在复数域C内必有一个根。命题

n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。

（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式

f(x)=a0+a1x+......+anxng(x)=b0+b1x+......+bmxm

(an≠0)，(bm≠0)，

如果存在整整数l,l≥m,l≥n,及l+1个不同的复数β1,β2,......,βl,βl+1，使得

f(βi)=g(βi)(i=1,2,......,l+1)，

则f(x)=g(x)。

1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设f(x)=a0x+a1x

n

n 1

，则+ +an，其中ai∈K,a0≠0。设f(x)=0的复根为α1,α2, ,αn（可能有重复）

n

1

f(x)=∏(x αi)=(x α1)(x α2) (x αn)a0i=1

=xn (α1+α2+ +αn)xn 1+ +α1α2 αn.

所以

a1

=( 1)1(α1+α2+ +αn)；a0

a2

=( 1)2∑αi1αi2；a00≤i1≤i2≤n

an

=( 1)nα1α2 αn.a0

我们记

σ0(α1,α2, ,αn)=1；

σ1(α1,α2, ,αn)=α1+α2+ +αn；

σr(α1,α2, ,αn)=

i1i2

0≤i1≤i2≤ ≤ir≤n

∏α

α αir；

σn(α1,α2, ,αn)=α1α2 αn

（σ1,σ2, ,σn称为α1,α2, ,αn的初等对称多项式）。于是有

定理2.5(韦达定理)

设f(x)=a0xn+a1xn 1+ +an，其中ai∈K,a0≠0。设f(x)=0的复根为

α1,α2, ,αn。则

a1

=( 1)1σ1(α1,α2, ,αn)；a0

a2

=( 1)2σ2(α1,α2, ,αn)；a0

an

=( 1)nσn(α1,α2, ,αn).a0

命题

给定R上n次方程

a0xn+a1xn 1+......+an 1x+an=0，

如果α=a+bi是方程的一个根，则共轭复数=a bi也是方程的根。

证明

由已知，

a0≠0，

a0αn+a1αn 1+......+an 1α+an=0.

两边取复共轭，又由于a0,a1,......,an∈R，所以

a0n+a1n 1+......+an 1+an=0.

推论证明

实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。

第一学期第三次课

§3线性方程组

1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换

举例说明解线性方程组的Gauss消元法。

定义（线性方程组的初等变换）数域K上的线性方程组的如下三种变换（1）互换两个方程的位置；

（2）把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素c；（3）把某一个方程加上另一个方程的k倍，这里k∈K的每一种都称为线性方程组的初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。命题证明

线性方程组经过初等变换后与原方程组同解设线性方程组为

am1x1+am2x2+ +amnxn=bn.

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