基于MATLAB的二重积分计算方法

运用MATLAB软件,通过对MATLAB内部函数的改造,就一般区域上二重积分的计算给出几种计算方法及相应的MATLAB命令,通过实例比较可显示所给方法的有效性.这些方法可加以推广后用以计算一般区域上的三重积分.

第 1 5卷第 2期21 0 2年 3月

高等数学研究S U DI T ES N I C0LLEGE A T H EM A TI M CS

Vo1 1 No. . 5, 2M a .。2O1 r 2

基于 MATL AB的二重积分计算方法王若鹏，赞勋，谢鹏燕，张鹏夏(京石油化工学院数理系，北京 1 2 1 1北 0 6 7 )

摘要运用 MAT AB软件，过对 MAT AB内部函数的改造，一般区域上二重积分的计算给出几种计 L通 L就算方法及相应的 MAT AB命令，过实例比较可显示所给方法的有效性 .些方法可加以推广后用以计算一般区 L通这域上的三重积分 .

关键词二重积分；MAT ;数值积分 I AB中图分类号 01 2 2 7 .文献标识码 A 文章编号 1 0— 3 9 2 1 ) 20 6— 3 0 8 1 9 ( 0 2 0— 0 10

考虑如下内积分限是函数的二重积分问题。rr

广、 b ud函数的改造以及 q a l dl a q u d命令的程序处理等三种方法实现一般区域上：重积分的计算问题.二

J— lf( )x y一 l x, d d—J D

r 6J口

r ) d(√ c( ) z

I z f x )y I (, d. d

() 1

1二重积分的计算方法 1 1一元函数数值积分方法的推广 .

这里考虑 f x,=x a— l b一 2 ( )= y,:,,c z)一 sn X, d( ( i z)一 C S . O

当积分区域为一般区域时， MATL AB没有相

应的内部函数，可借用一元函数数值积分的方法进行求解 .数值解法计算定积分时有梯形公式、贝格龙

为叙述方便，不妨记r () dx

g )一 I f x ) y ( (, d.J“ )

公式和高斯公式等，这里只讨论梯形公式.

对于二重积分 ( )利用梯形法将区间[,]等 1, n6分为 m份，记h一 ,

MATL 7 0提供的计算二重积分的方法有 AB .符号解法和数值解法嘲 .符号解法是使用

MA AB内部命令 it算两次一重积分，结果 TL n计其往往是符号，要计算积分值，须使用 v a算其数必 p计值， 20 a在 0 9版本中，可以利用 q

a 2计算二重积也 udd分值，是对稍微复杂的二重积分，两个命令无法但这计算其积分值.数值解法是利用 d lu d函数，而 bq a但其中则有

一 n+/ ( h i= 1 2…, ) ,, ,

(

+

),

要求内外积分限都是常函数，只￣ i算矩形区域即 i, -上的二重积分 .于一般区域上的二重积分计算，对文

g .一f (,d () d,z 。 ( ). x√ c xi ( )

[,—]建议使用美国学者 Ho r l n和 24 5 wad Wi o s B y eGad e r c r n r开发的数值积分工具箱中的函数gqu d d ge . a z g n

然后再将区间 E (, (]进行等分， cx)d x)记

九( )一一 cx) ( +

盟

,

事实上，通过对 MAT AB中相关计算重积分的 L函数加以改造，能胜任内积分限为函数的二重积分就

()

(一 1,,,; J一 1,,,, 2… 2… )

计算工作 .中通过对一元函数数值积分方法的推文收稿日期： 0卜O— 6修改日期： 0 20— 3 2 1 50; 2 1— 22

则有

G )[ ci+ (≈ 厂 () 1( S C )f ()l (, x )+∑f 。} xd (, ) x .一

基金项目：京市 UR计划项目子项目( 0 oo o 7北 T 2 1 Jo 6 )作者简介：若鹏 (9 5 )男，教授，王 17 -,副主要从事优化理论与方法的教学与研究 . Emalwag u pn@ bp.d .n i n ro eg iteu c:夏赞勋 (9 9 )男，息与计算科学专业 2 0 18 -,信 0 8级本科在读 . ma: izn u@ b p. d . N E i xa a x n i t e u C l

J 1=

这一计算过程的 MATL AB函数文件代码如下.fnt nI myrp bq a (u ab,fn,fn I, ) u ci = o tad lu dfn,, cu du,ln l