平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算 一、目标认知 学习目标：

1．了解向量的实际背景.

2．理解平面向量和向量相等的含义.

3．理解向量的几何表示.

4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.

5．理解两个向量共线的含义.

6．了解向量的线性运算性质及其几何意义.

重点：

理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

难点：

平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

二、知识要点梳理 知识点一：向量的概念

1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2．向量的表示方法:

(1)字母表示法:如等.

等. (2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如

(3)向量的有关概念

向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:与任一向量共线.

要点诠释：

1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

知识点二：向量的加(减)法运算

1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则

2．运算律：①交换律：；②结合律：

平面向量的概念及线性运算

要点诠释：

1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与

终点.

2．

.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.

与向量的积是一个向量，记作： 知识点三：数乘向量 1．实数与向量的积：实数 (1)

(2)①当 ②当

③当 2．运算律

设为实数 ； 时，时

.时，的方向与的方向相同； 的方向与的方向相反； .

结合律：

分配律： 3．共线向量基本定理 ； ，

非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数 要点诠释：

，使. 是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 三、规律方法指导

1.向量的线性运算

有机结合，并能 (1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形

利用向量运算完成简单的几何证明；

(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应

记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.

2.共线向量与三点共线问题

平面向量的概念及线性运算

向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.