8-4多元复合函数的求导法则

第四节 第四节 多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导法则

一元复合函数 求导法则

第八章 第八章

一、多元复合函数求导的链式法则 二、一阶全微分的形式不变性

微分法则

一、多元复合函数求导的链式法则

定理8.5 定理

( 设函数 u = ( x, y)和v =ψ ( x, y)在点 x, y)

x ( 具有对 及y的偏导数, z = f (u, v)在对应点 u, v)处 偏导数连续， 偏导数连续，则复合函 数 x z = f [ ( x, y),ψ ( x, y)]

( 处可导， 在点 x, y)处可导，且 z u z v z = + x u x v x z u z v z + = y u y v y

z

u

y

v

x

若引入记号： 若引入记号：

f (u, v) f (u, v) ′= , ，f2 u v ( x, y) ψ ( x, y) ′ ′ 1 = , ， ψ1 = x x ′ f1 =

′ 2 = ( x, y) ψ ( x, y) ′= ， ψ2 y y

则

z z u z v ′ ′ ′ ′ = + = f1 1+ f2 ψ1 x u x v x z z u z v ′ ′ = + = f1 2 + f2ψ2 ′ ′ y u y v y

证 固定 , 给x以增量 x. y

相应地， u 有偏增量： 相应地， = ( x, y)和v =ψ ( x, y)有偏增量：

( u)x = ( x + x, y) ( x, y) = ( x + x, y) u ( v)x =ψ ( x + x, y) ψ ( x, y)

=ψ ( x + x, y) v

获得偏增量： 从而z = f (u, v)获得偏增量：

( z)x = f [ ( x + x, y),ψ ( x + x, y)] f [ ( x, y),ψ ( x, y)]

= f [u + ( u) x , v + ( v) x ] f (u, v)

( 处有连续偏导数， 又因z = f (u, v)在点 u, v)处有连续偏导数，故可 . 微

且由定理 可微与偏导数连续的关系)的证明 且由定理8.3(可微与偏导数连续的关系 的证明，知 定理 可微与偏导数连续的关系 的证明， z z z = u + v + ε1 u + ε2 v u v 其中 lim εi = 0 (i = 1,2)

u→0 v→0

特别地，固定 y, 即当 y = 0, x ≠ 0时 有 特别地， , z z ( z) x = ( u) x + ( v) x + ε1( u)x + ε 2( v) x u v

u v Q 在( x, y)处， 和 均存在 x x

关于x ∴ u = (x, y)和v =ψ (x, y)在(x, y)处均关于 连续

∴ lim ( u) x = lim ( v) x = 0

x→0 x→0

从而 lim ε1 = lim ε2 = 0

x→0 x→0

( z)x z ( u)x z ( v)x ( u)x ( v)x 在 = + + ε1 + ε2 x u x v x x x

中，令 x → 0, 得

z z u z v + = x u x v x

类似地，可以证明： z = z u + z v 类似地，可以证明： y u y v y

复合关系图(结构图 结构图) 注 1o 复合关系图 结构图

u

x

z

v

y

z = x z = y

z u z v + , u x v x z u z v + . u y v y

口诀 : “项数 = 通向该自变量的路径数”. 几条，函 项数 通向该自变量的路径数” 即关系图中因变量到