高等数学各章总结(参考答案)

高等数学

第一章 函数

一、知识结构：

函数

集合 函数关系

实数集(区间)

集合的运算 交、并、差

函数的表示

基本初等函数，初等函数建立函数关系（应用问题）

经济学常用函数

函数的性质

复合函数 单调性

分段函数 奇偶性

反函数 周期性

有界性

二、例题：

判断题

1. 设y arcsinu,u可以复合成一个函数y arcsinx2 2；（错）

1

2. 函数y 的定义域是x 1且x 10；（对）

lglgx3. 函数y e x在(0, )内无界；（错）

1

4. 函数y 在(0, )内无界；（错）

1 x21 x2

5. f(x) 是奇函数；（错）

cosx

6. f(x) x与g(x) 2是相同函数 ；（错） 7. 函数y ex是奇函数；（错） 8. y x与y 是同一函数；（错） 9. 函数y x3 x 1是奇函数；（错）

x 1

10. 函数y arcsin的定义域是( 1,3) ；（错）

2x2

11. y x与 y 不是同一个函数；（对）

x

2

高等数学

12. 函数y xcosx是偶函数 .（对）

填空题

1. 设y 3u,u v2,v tanx,则复合函数为y f(x) 3tanx；

1,g(x) 1 x,则f[g(x)] = 1 ； xx

2

3. 复合函数y e(sinx)是由y eu,u v2,v sinx函数复合而成的；

2

2. 设f(x)

11

4. 已知f() ,则 f(2) ；

x1 x5.

y 其定义域为 __[ 4,1)________ ；

x 2

6. 设函数f(x) ,则f( 1)= __________； 2

x 1

7. 考虑奇偶性,

函数y ln(x为 __奇______ 函数 ； 8. 函数y e2x的反函数是 y ,它的图象与y e2x的图象关于 . 2lnx

选择题

1. 函数y

x 2

的定义域是 ( D ) x 3

(A) (2, ) (B)[2, ] (C)( ,3) (3, ) (D)[2,3) (3, )

2. 函数 y x2(x 1)2在区间 (0,1) 内 ( C )

(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( C )

(A)y x4 x2 (B) y x x2 (C)y 2x 2 x (D)y 2x 2 x

x 0 ax b

4. 已知函数 f(x) 2，则f(0)的值为 ( C )

x 0 x 1

(A) a b (B) b a (C) 1 (D) 2

高等数学

第二章 极限与连续

一、知识结构：

极限连续极限 连续

极限的 定义

极限的性

质

极限的计

算

连续的定

义

连续函数的计算 初等函数的连续性闭区间连续函数的性质

数列极限唯一性 四则运算

一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续

连续函数的四则运

连续函数的复合

间断点及类型

有界性

函数极限有界性 夹逼准则最值性

保号性

两个重要极限

无穷小与无穷大及关系

由连续性求极限

介值性

零点定理无穷小性质及等价无穷小代换

二、例题：

判断题

1. 函数在点x0处有极限，则函数在x0点极必连续；(错) 2. x 0时,x与sinx是等价无穷小量；（对）

3. 若f(x0 0) f(x0 0)，则f(x)必在x0点连续；（错） 4. 当x 0时，x2 sinx与x相比是高阶无穷小；（错） 5. 函数y 2x2 1在( , )内是单调的函数；（错） 6. 设f(x)在点x0处连续，则f(x0 0) f(x0 0) ；（对）

1 2

xsin,x 0

7. 函数 f(x) 在x 0点连续；（对） x

x 0 0,

x2 2

8. x 1是函数y 的间断点；（对）

x 1

9. f(x) sinx是一个无穷小量；（错）

10. 当x 0时，x与ln(1 x2)是等价的无穷小量；（错） 11. 若 limf(x) 存在，则f(x)在x0处有定义；（错）

x x0

高等数学

12. 若x与y是同一过程下两个无穷大量，则x y在该过程下是无穷小量；（错） 13. y x2 2是一个复合函数；（错）

x1

；14. lim（对）

x 0x sinx2

111

15. 数列,0,,0,,0, 收敛；（对）

248

1

16. 函数 y xsin 在 x 0 点连续；（错）

x

ln(x 2)

17. x 0是函数y 的间断点；（对）

x

18. 以零为极限的变量是无穷小量；（对）

填空题

sinx

__0____ ；

x x

x

2. lim = __1_____ ； x x sinx

x 2

3. 函数 y 2 在 ___x 3____ 处间断；

x 93n23

4. lim2 = __5_____； n 5n 2n 1

5. 当 x 0 时，1 cosx 是比 x ___高__ 阶的无穷小量；

6. 当 x 0 时， 若 sin2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a _2_____；

x)

7.

lim ____1______ ； x 0 sinx

sin2x

,x 0

8. 设 f(x) x 连续，则 a __2______ ；

x 0 a,

1. lim

；

h 02

10. lim(1 )x ___e 2_____；

x x

ln(1 3x)

___1______ ； 11. lim

x 0sin3x

1 x2

12. 设 f(x) e,x 0 在 x 0 处____是____（是、否）连续；

x 0 0,

13. 当x 0时

,

23是___同阶___（同阶、等价）无穷小量.

9.

选择题

1

为 ( C ) x

(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. x 1 时，下列变量中为无穷大量的是 ( A )

1

1x2 1x 1x 1

(A) 3 (B) (C) (D) 2

xx 1x 1

1. 当x 0时，y sin

高等数学

2,x 1

3.

已知函数f(x) x 1, 1 x 0，则limf(x) 和 limf(x)( C )

x 0x 1

0 x 1(A) 都存在 (B) 都不存在

(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在

x

x 1

4. 函数 f(x) 1 的连续区间是 ( C ) x 1 2

(A)( ,1) (B)(1, ) (C)( ,1) (1, ) (D) ( , )

3x 2,x 0

f(x) ( D ) 5. 设 f(x) 2 ，则 limx 0 x 2,x 0

(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 2

1,x 0

7. 函数 f(x) ，在 x 0 处 ( B )

1,x 0

(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续

2x

( C ) 8. lim

x 05arcsinx

2

(A) 0 (B) 不存在 (C) (D) 1

5

9. f(x) 在点 x x0 处有定义，是 f(x)在 x x0处连续的 ( A )

(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( A )

x(x 1)1x

(A)lim (B) limx (C) lime

(D) x 0x x 02 1xx21

计算与应用题

x2 3x 2

,x 2,

1. 设f(x)在点x 2处连续，且f(x) x 2 ，求 a .

a,x 2 x2 3x 2(x 1)(x 2)

lim 1 f(2)，故a 1. 解：要连续，必须limf(x) lim

x 2x 2x 2x 2x 2

2. 求极限:

2 cosx 1

lim2 1(1)lim ; 2x 0x 02x2x

2x 1x 122x 1 ) lim (1 ) e;

x 2x 1x 2x 1

4 6 7x3 2x 1

(3)lim limxx5x 0; 7x x x 51 x(2)lim(

4

x1 x…… 此处隐藏：12352字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……