优化设计-鲍威尔法

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现代设计方法

Ⅲ、修正Powell法 为了避免鲍威尔法缺陷，提出了修正算法。Sk X2 f2 Xk f1 Xk(0) (n) (n)

f3Xk( n 1)

Xk

( n 2)

映射点

2 1 Xk(1)

X1冶金机械教研室 吕勇 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

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和原始Powell法的主要区别在于：在构成第 k+1次循环方向组时，不用淘汰前一循环中的 第一个方向S1(k)的办法，而是计算函数值并根 据是否满足条件计算： S f1=f(Xk(0)) f X X f2=f(Xk(n)) X f f3=f(Xk(n+2)) Xk 2 3 ( n 2) ( n 1) k 2 k (n) k

(n)

f1 Xk(0)

2 1 Xk(1)

X1

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找出前一轮迭代法中函数值下降最多的方向 m及下降量△m,即：△m=max{[f(Xk(i))-f(Xk(i+1))](i=0,1,…,n-1)} = f(Xk(m-1))-f(Xk(m))

可以证明：若 f3 <f1 (f1 -2f2+f3)(f1-f2- △m)2< 0.5△m(f1-f3)2 同时成立冶金机械教研室 吕勇 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

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表明方向Sk(n)与原方向组成线性无关，可以 用来替换对象△m所对应的方向Sk(m)。否则仍 用原方向组进行第k+1轮搜索。Sk X2 f2 Xk f1 Xk(0) (n) (n)

f3Xk( n 1)

Xk

( n 2)

2 1 Xk(1)

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例：试用修正Powell法求f(X)=X12+2X22- 4X1-2X1X2的最优解。X0=[1,1]T ,收敛精度 ε=0.001 。 思考：如采用原始Powell法，如 何判别此题具有几次收敛性？ 修正Powell算法是否具有同样的 收敛性？ 提示：先沿(e1,e2)进行搜索： e1=[1,0]T,e2=[0,1]T冶金机械教研室 吕勇 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

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f(X)=X12+2X22-4X1-2X1X2

解: X 0

(1)

1 X0 1

f1=f(X0(1))=-3

第一次循环：沿坐标轴方向e1进行一维 搜索：(1) 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) X 1 X 0 1 S1 1 1 0 1

df ( 代入f(X)令 d 冶金机械教研室 吕勇

(1) 1 (1) 1

)

0

得

(1) 1

2 则有

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X1

(1)

3 1

f(X)=X12+2X22-4X1-2X1X2

f(X1(1))=-7

以X1(1)为起点，沿坐标轴方向e2进行一维搜索：

X2

(1)

X

(1) 1

2 S2(1)(1)

(1)

代入f(X)并令

1 df ( 2 ) (1) 0 得 2 (1) 2 d 2

3 (1) 0 2 1 1 则有

X2

(1)

3 f(X (1) )=-7.5 2 1.5 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

检验是否满足终止

迭代条件冶金机械教研室 吕勇

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X2 X0

(1)

(1)

(3 1) 2 (1.5 1) 2 2.06

计算各个方向的函数下降量： △1= f(X0(1))-f(X1(1))=-3-(-7)=4 △2= f(X1(1))-f(X2(1))=-7-(-7.5)=0.5

m max 1 , 2 4

映射点：

x

(1)

2x x(1) 2

(1) 0

条件：

m 2 ( f1 2 f 2 f 3 )( f1 f 2 m ) 1.25 ( f1 f 3 ) 32 22

f3 f ( x ) 7(1)

3 1 5 2 1.5 1 2 f 3 f1

满足。

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武汉科技大学机械自动化学院 故沿新的搜索方向 (1) 进行

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S

S

(1)

x x(1) 2

(1) 0

3 1 2 1.5 1 0.5

沿 S (1) 作一维搜索： (1) 3 2 3 2 3 (1) (1) (1) (1) (1) x3 x2 3 S 3 (1) 1.5 0.5 1.5 0.5 3 (1) df ( 3 ) (1) 0 代入f(X),令 得 3 = (1) d 3

故有(1) x3

19 5 (1) , f ( x3 ) 7.9 17 10 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

2 5

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故以

x

( 2) 0

x

(1)

(1) 为新起点，沿( e2 , S )方向一

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维搜索，进行第二次循环： 19 5 , ( 2) ( 2) f ( x x0 0 ) 7.9 17 19 10 5 ( 2) 沿 e2 方向进行一维搜索 x1 , f ( x1( 2) ) 7.98 f1 19 10 以

x

( 2) 1

为起点沿 S (1)

( 2) 方向进行搜索，得 x2

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99 25 ( 2) f ( x , 2 ) 7.996 f 2 97 50

检验：

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现代设计方法2

99 19 97 17 ( 2) ( 2) x2 x0 0.288 1 15 5 50 10

继续进行迭代，计算： 1 0.08 2 0.016 m 0.08

映射点：x ( 2) 2 x2( 2) x0( 2)

103 25 109 50

f ( x ( 2) ) 7.964 f 3 f1( 3) 0

条件不成立。进行继续迭代时取 x 99 25 99 50

x

( 2) 沿 2

e , S (1) 2

方向一维搜索进行第三循环，并得：x( 3) 1

f1 f ( x ) 7.9992( 3) 1lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

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x

( 3) 2

3.9992 1 . 988

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f 2 f ( x ) 7.99984( 3) 2

( 3) ( 3) x2 x0 0.0577

x

( 3) 3

4.024 2 . 036

f 3

f ( x ) 7.99856( 3) 3

f3 , f1 f 2 f 3 ,基本情况同第二循环但更接近极极小点。由第二循环产生的新方向为：( 2) ( 2) S ( 2 ) x2 x0

99 19 4 25 5 25 97 17 12 50 10 50 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

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武汉科技大学机械自动化学院) 由于 S (1) 及 S ( 2为共轭方向， 目标函数是二次函数，若沿 S ( 2 )

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方向进行一维搜索得到x( 2)

4 2

f ( x ( 2) ) 8

即为目标函数的最优解：

f ( x ) 8*

4 x 2 *冶金机械教研室 吕勇 lvyong@http://doc.guandang.net教一楼512

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