2010-2011学年度第二学期高等数学期末考试试题A答案

北京科技大学本科生2010级第二学期

高等数学（AⅡ）期末考试试卷（A）答案

KKa b

（2）12a;（3）t= ; 一、 （1）x+2y+5z=8；

2b

（4）

二、（7）B;(8)B;(9)D; (10)C; (11)B; (12)A;

三、（13）由题设g′(1)=0,g(1)=1， -------2分，

又

98

; （5） 5，（6）y′′′ y′′=0； 13

z

=yf1′+yg′(x)f2′， -------4分， x

2z

′′+yf12′′[g(x)+xg′(x)]+g′(x)f2′+yg(x)g′(x)f22′′ -------8分， =f1′+xyf11

x y

2z

x y

(14) 因为P=6xy y,Q=6xy 3xy在整 个xoy面这个单连通域内具有一阶连续偏导数，且

2

3

2

2

x=1y=1

′′(1,1)+f12′′(1,1) -------10分， =f1′(1,1,)+f11

Q P

=12xy 3y2=， x y

所以曲线积分在xoy面内与路径无关. -------5分，

如图选取积分路经

原式=

∫

3

1

(24x 8)dx+

∫

4

2

(54y 9y2)dy

=80+156=236 -------10分，

（15）令A=

∫∫f(u,v)dudv，则

D

f(x,y)= x2 y2

在D上对上式两边积分，有

8

π

A， -------2分，

高等数学 AII 期末A卷答案 第 1 页 共 3 页

∫∫

D

f(x,y)dxdy=

∫∫

D

π

2

x2 y2dxdy

8

π

A

∫∫dxdy -------4分，

D

=

∫

dθ

π

∫

sinθ

r2rdr

8

π

A

π

8

=

13

∫

π

2

(cos3θ 1)dθ A=

π

6

2

A 9

即A=

6

2π1 A，所以A= ， -------10分， 9129

28

-------11分， +39π

从而 f(x,y)= x2 y2 （16）原式=

Σ

123(bxdydz+yzdzdx+zdxdy) -------2分， 2b1b2

=

∫∫∫

Ω

(b+z2+3z2)dxdydz -------5分，

48=πb2+23b

∫

b

z2dz

∫∫dσ -------9分，

Dzz

416

=πb2+πb3 ------11分， 315

四、(17) 由原方程知f(0)=0，且有

f(x)=sinx x

两边对x求导，得

∫

x

f(t)dt+

∫

x

tf(t)dt

f′(x)=cosx

∫

x

f(t)dt

（知f′(0)=1）两边再对x求导，得

f′′(x)+f(x)= sinx （＊） -------3分，

这是二阶线性微分方程，由其特征方程r2+1=0得r=±i，又λ+ωi=i为方程的单根，故设特解 f*=x(Acosx+Bsinx) 代入（＊）式，得A=

11

,B=0，于是f*=xcosx，从而通解22

f(x)=C1cosx+C2sinx+

1

xcosx 2

1

，故所求函数为 2

再由f(0)=0，f′(0)=1，得C1=0,C2= f(x)=

11

sinx+xcosx． -------5分， 22

高等数学 AII 期末A卷答案 第 2 页 共 3 页

(18). 设f(x)在[a,b]上连续，利用二重积分，证明：

(∫f(x)dx)≤(b a)∫f(x)dx, 其中

b

2

b

2

a

a

D:a≤x≤b,a≤y≤b.

证明 [f(x) f(y)]

b

b

2

≥0,

2

b

b

∴0≤∫dx∫[f(x) f(y)]dy=∫dx∫[f2(x) 2f(x)f(y)+f2(y)]dy -------（3分）

a

a

a

a

=2(b a)∫b

f2(x)dx 2[∫b

f(x)dx]2a

a

.

所以

(∫

b

b

a

f(x)dx

)

2

≤(b a)∫f2(x)dx. a

高等数学 AII 期末A卷答案 第 3 页 共 3 页

-------5分