2.5随机变量函数的分布

1.5

随机变量函数的分布

一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布

一 、离散型随机变量函数的分布 若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取 值为yk=g(xk),其分布可以直接由X的分布求得. 例1 设随机变量X的概率分布为

XP

-20.05

-10.15

00.20

10.25

20.2

30.15

求 Z=X2

解 将X所有可能的取值一一代入函数

例1 设随机变量X的概率分布为

XP

-20.05

-10.15

00.20

10.25

20.2

30.15

求Z=X2的分布律

X P

-2 0.054

-1 0.151

Z

0 0.20 0

1 0.251

2 0.24

3 0.159

Z的概率分布为 Z=X2 P 0 0.20 1 0.40 4 0.25 9 0.15

计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值yi g (xi ) ( i 1, , . ) 2

如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …

如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在1 k1 k 2 k m

使

g ( xk ) g ( xk ) g ( xk ) y1 2 m

则在Y的分布列中，取的概率为 P Y y P X x k P X xk

1

P X

xk

2

m

m

pk

i 1

i

二 、连续型随机变量函数的分布 1. 公式法 定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) , (-∞<x< +∞ ),又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y ),则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为 h y f [ h ( y )] fY y 0 其中， min{ g ( ), g ( )},

, ,

y 其他

max{ g ( ), g ( )}

例2 设X具有密度函数f(x),求线性函数Y=k1X+k2

的密度函数(k1,k2是常数且k1≠0). 分析 y = g(x) =k1x+k2 处处可导，严格单调 y k2 k1

其反函数 x = h(y )h ( y )

1 k1

, y , 其他

h y f [ h ( y )] fY y 0

,

其中， min{ g ( ), g ( )},

max{ g ( ), g ( )}

y = g(x)处处可 导，严格单调， 其反函数 x = h(y )

例2 设X具有密度函数f(x),求线性函数Y=k1X+k2的密度函数(k1,k2是常数且k1≠0). 其反函数 x = h(y ) fY ( y ) f ( y k2 k1

h ( y )

1 k1

y k2 k1, ,

)

1 | k1 |

h y f [ h ( y )] fY y 0

y 其他

其中， min{ g ( ), g ( )},

max{ g ( ), g ( )}

y = g(x)处处可 导，严格单调， 其反函数 x = h(y )

定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) , (-∞<x< +∞ ),又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y ),则Y = g(X)也

是一连续型随 机变量，且密度函数为 h y f [ h ( y )] , y fY y 0 , 其他

其中， min{ g ( ), g ( )}, max{ g ( ), g ( )}

注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] 上有 g ( x ) 0[ 或 g ( x ) 0 ].其中， min{ g ( a ), g ( b )}, max{ g ( a ), g ( b )}

二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)

例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分布, 求圆片面积的概率密度.

解 设圆片直径的测量值为 X , 面积为Y , 则有 X 2. Y 4

按已知条件, X 的概率密度为 1, fX (x) 0, x [ 5 ,6 ] 其它

对于函数 y x 2 / 4 , 当 x [ 5 , 6 ] 时, min{ x / 4 } 25 / 4 , max{ x / 4 } 9 .2 2

例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度.

解

对于函数 y x 2 / 4 , 当 x [ 5 , 6 ] 时, min{ x / 4 } 25 / 4 , max{ x / 4 } 9 .2 2

例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度. 解 对于函数 y x / 4 , 当 x [ 5 , 6 ] 时,2

min{ x / 4 } 25 / 4 , max{ x / 4 } 9 .2 2

于是

0, F ( y) * 1,

y 25 / 4 25 /4 y 9 y 9

当 25 /4 y 9 时,F ( y ) P {Y y } P { X / 4 y }2

P{ X

4 y / }

4 y /

f X ( x ) dx

例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度. 解

当 25 /4 y 9 时,F ( y ) P {Y y } P { X / 4 y }2

P{ X

4 y / }

4 y /

f X ( x ) dx

例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度. 解 当 25 /4 y 9 时,F ( y ) P {Y y } P { X / 4 y }2

P{ X 0 dx 5

4 y / } 4 y / 5

4 y /

f X ( x ) dx 4 y / 5

1 dx

由于 f Y ( y ) F ( y ) ( 4 y / 5 ) 1 / y 故随机变量 Y 的分布密度函数为 1 / y , fY ( y ) 0, 25 / 4 y 9 其它 .

完