第三章 图像信号的正交变换

图像信号的正交变换

第三章 图像信号的正交变换

空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。

3.1 线性系统理论通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。

一、定义系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。 线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。

二、研究线性系统的两种方法1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。 2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。

图像信号的正交变换

简介 1、背景 1768年出生于法国。 傅立叶的思想

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 二、傅立叶变换

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义

周期为2π 周期为2π的函数g(θ),若在一个周期内只有有限个极值

点和不连续点，并且在一个周期内绝对可积，则它可以展成傅里叶三角级数：a0 g ( ) a n cos(n ) bn sin(n ) 2 n 1

其中：an bn 1

1

g ( ) cos( n )d

g ( ) sin( n )d

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义

周期为T 周期为T的函数将它展开成傅立叶三角级数时展开式，

只是要根据对应关系将θ换算成x,它们之间的换算关系 2 是 ,所以有 xT

a0 2 g ( x) a n cos n 2 n 1 T

2 x bn sin n T

x

其中：2 x0 T 2 an g ( x) cos n x dx x0 T T 2 x0 T 2 bn g ( x) sin n x dx x0 T T

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例

有一缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅透过率为：d 1 m d x m d g ( x) 2 0 其它

其中，m为整数，将它展开成傅立叶三角级数。函数图形 如下所示：

g (x)

d

0

d

2d

x

图像信号的正交变换

解： 一、傅立叶级数 1、定义 2、举例a0 2 g ( x) a n cos n 2 n 1 d 2 x bn sin n d 1 n 0 2 d 2 an g ( x) cos n x dx d 0 d 0 n 0 x

2 d 2 d 2 2 2 bn g ( x) sin n x dx sin n x dx d 0 d d 0 d 2 1 [1 cos(n )] n n 0 n 1,3,5,...(2k 1) n 2,4,6,...2k

其中k=0,1,2,…。于是：1 2 2 g ( x) sin (2k 1) x 2 k 0 (2k 1) d

取前项：

绘图如下：

1 2 2 2 2 、 sin 2 πx 、 sin 6 πx 、 sin 10 πx 、 sin 14 πx 2 π 3π 5π 7π

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举

例

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式

指数形式通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系

起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式。 若g(x)的周期为T,在一个周期内只有有限个极值点和不 连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开成 傅立叶指数级数：

g ( x)

其中：

n

C en

jn

2 x t

jn x 1 x0 T Cn g ( x)e T dx T x0

2

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式

证明如下：取n为任一正整数C0 a 1 x0 T g ( x)dx 0 T x0 22

jn x 1 x0 T Cn g ( x)e T dx T x0

a jbn 1 x0 t 2 2 g ( x) cos(n x) j sin(n x) dx n T x0 T T 2 C n jn x 1 x0 T g ( x)e T dx T x0 2

a jbn 1 x0 t 2 2 g ( x) cos(n x) j sin(n x) dx n T x0 T T 2

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式

即：g ( x) n

C en

jn

2 x T

2 2 jn x jn x C 0 C n e T C n e T n 1

a n jbn 2 2 cos n x j sin n x 2 T T C0 a n jbn 2 2 n 1 cos n x j sin n x 2 T T

a0 2 a n cos n 2 n 1 T

2 x bn sin n T

x

得证。

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 二、傅立叶变换 1、导出

事实上周期函数只是数学上的描述，对于一切物理过程严格来说都是非周期的。有些物理过程可以用周期函数

来近似描述，象前面介绍的矩形光栅的例子，只有当光栅常数d比光栅总宽度小得多的时，也就是总缝数很大时才 可以用周期函数来描写这种光栅，当然这种描写仍是近似 的。还有相当多的物理现象，只发生在有限的空间范围和

时间间隔内，这样的现象对于空间和时间来说是非周期的。 对于大量非周期函数的展开，首先可以以它有非零值的范 围(空间范围或时间间隔)为周 期，将它延拓成为周期函数。右g x

图中g(x)为非周期函数： T 2 T 2

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 二、傅立叶变换 1、导出

将g(x)延拓后，为gT(x)函数：g x T

T 2

T 2

将延拓后的周期函数展开，得到的傅立叶级数，该函数在所取周期，与原函数完全相同。即 2 jn x T T 当 x 时，有： , g x g T x C n e T 2 2 n 因为有： C n 1 T

T 2 T 2

g eT

jn

2 T

d 2 2

jn jn x 1 2 T T T 所以： g ( x) [ T g ( )e d ]e T , x , T 2 2 n 2

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 二、傅立叶变换 1、导出

显然，当T趋近无穷大时，对g(x)在任何x点都是成立的， 则有： jn jn 1 2 g ( x) lim [ T g ( )e T d ]e T T T n 2 T 2 2 x

假设有一函数Q(f),其对整个坐标轴的积分可以表示如下： 因为有：f 0 0, f1 f 1 2 n , f 2 2 f ,..., f n n f T T T

见下图。Q f f 1 T f 1 T f 1 T

f

1

f

0

f

1

f

2

f

3

f

n

1 所以： Q( f )df lim f Q( f n ) lim Q( n ) f 0 T T T n n

图像信号的正交变换

一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 二、傅立叶变换 1、导出

两个公式放在一起对比一下： 2 2 T jn jn x 1 2 g ( x) lim [ T g ( )e T d ]e T T T n 2 …… 此处隐藏：1688字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……