微积分习题讲解与答案

1 / 23 习题8.1

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：

(1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x

(3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ

2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性

(2) 1阶 线性

(3) 3阶 线性

(4) 1阶 线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x

x y x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数)

(3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数)

(4) x x e C e

C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数)

(6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''-

解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2

=+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx

x 2)12(1)1(22

2=-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x

Ce Ce Ce =右

(4) 是，左=

0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右

(5) 是，左==-=---y x y

x y x y x 222)2(右 (6) 是，左=x xy y x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)

()(22)(22332

2 / 2

3 =0)())(2()()(222

222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右

3.求下列微分方程的解 (1) 2d d =x y ; (2) x x

y cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y

x x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==??2,d 2d

(2)

1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''?? 211cos ,d )(sin d C

x C x y x C x x y ++-=+='?? (3) ??=+-x y y y d d 11 ??=+++-x y y y d d 12)1(

解得 ???=++-x y y y d d 12d

即 C x y y +=++-|1|ln 2 (4) ??+=+dx x x dy y y )1(122

解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+

整理得 22

2

11C x y =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。

解 已知 22x y ='

解得 C x y +=33

2 又知曲线过原点，得0=C

所求曲线方程为33

2x y =

3 / 23 习题8.2

1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) y x y 4=' (2) 0ln =-'y y y x

(3) y x y +='10 (4) 0d tan sec d tan sec 2

2=+y x y x y x (5) 1|,0d 1d 10==+-+=x y y x

y x y x (6) 0|,02=='=+x y x y e y 解 (1) x xd dy y ??=41

解得 22)(C x y += (2) ?

?=x dx y y dy ln 解得 Cx e y = (3) ??=-dx dy x y 1010 解得 C x y +=--1010 即 C y x =+-1010 (4) ??-=dx x

x dy y y tan sec tan sec 22 解得 1|tan |ln |tan |ln C x y +-= 整理得 C y x =?tan tan

(5) ??+=+dx x x dy y y )1()1( 解得

C x x y y ++=+323231213121 由于 1|0==x y ，解得 65=

C 则 6

5312131213232++=+x x y y (6) ??=-dx e dy e x y 2 解得 C e e x y +=--22

1 由于 0|0==x y 则 23-

=C 原方程解为 x y e e 232-=-

2.求下列齐次方程的解 (1) x

y y y x ln =' (2) y x y x x y -+=d d (3) 022=---'x y y y x (4) x x xy y y x d )(d 222+-=

4 / 23 (5) dx

dy xy dx dy x y =+22 (6) 1|,0)2(12==-'+=x y y y y x x 解 (1) 令x

y u =

，代入方程得 u u x u x u ln d d =+ 分离变量得

x

x u u u d )1(ln d =- 两边积分得

1||ln |1ln |ln C x u +=-

整理得 |||1ln |2x C u =- 将x

y u =回代，即得原方程通解 Cx x

y =-1ln (2) 原式可化为 x y x y

x y -+

=11d d 令x

y u =，代入方程得 u

u x u x u -+=+11d d 分离变量得

x x u u u d 1)d -(12

=+ 两边积分得

将x

y u =

回代，即得原方程通解 12||ln )1ln(2

1arctan C x u u +=+-

5 / 23 C x x

y x y +=+-222

ln )1ln(arctan 2 整理得 C y x x

y =+-)ln(arctan 222 (3) 原式可化为 1d d 2-??

? ??+=x y x y x y 令x

y u =，代入方程得 1d d 2-=u x

u x 分离变量得

x

x u u

d 1

d 2=- 两边积分得 12||ln |1|ln C x u u +=-+

即 |||1|2x C u u =-+ 将x

y u =回代，即得原方程通解 Cx x y x y =-??? ??+12

(4) 原式可化为 1d d 2+-??? ??=x

y x y x y 令x

y u =，代入方程得 1d d 2+-=+u u x

u x u 分离变量得

x

x u u u d 12d 2=+- 两边积分得

6 / 23 1||ln 11C x u

+=- 即 u Ce x

-=11 将x

y u =回代，即得原方程通解 y x x Ce x -= (5) 10)(2

2222-??? ????? ??=-==-+x y x y x xy y dx dy dx dy xy x y 令 1

,2

-=+=u u dx du x u u x y 则 0)1(=-+du u x udx

??=+-11C x dx du u u

1||ln C u xu =-

x y u u C ce y ce e xu =∴==+,1

(6) 原式可化为 x

y x y xy x y x y 212d d 222+??? ??=+= 令x

y u =，代入方程得 u

u x u x u 21d d 2

+=+ 分离变量得

x x u

u u u d )d 2(12-=++ 两边积分得

12||ln ln C x u u +-=+

即 x

C u u =+2

7 / 23 将x

y u =回代，即得原方程通解 Cx xy y =+2

将1|1==x y 代入得C =2

于是，特解为

x xy y 22=+

习题8.3

1.求下列微分方程的通解

(1) x e y y -=+' (2) 232++=+'x x y y x

(3) 2242)1(x xy y x =+'+ (4) 1212=-+'y x

x y (5) 0d )ln (d ln =-+y y x x y y (6) y y y x 2)2(2='-

解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

0d d =+y x

y 的通解。分离变量得

x y

y d d -= 两端同时积分，得

1||ln C x y +-=

得通解为

x Ce y -=

用常数变易法，把C 换成C (x )，即

x e x C y -=)(

两边微分，得

x x e x C e x C x

y ---'=)()(d d 代入原方程，得

1)(='x C

8 / 23 两端同时积分，得

C x x C +=)(

故所求微分方程通解为

()x e C x y …… 此处隐藏：7189字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……