8-5_可降阶的高阶微分方程

大一高数

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§4可降阶的高阶微分方程定义称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程一, y(n)= f (x)型的微分方程方程y (n)= f (x)

右端仅含有自变量x,容易看出,只要令y (n-1)= p则p/=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程,两边积分就得到一个n-1阶的微分方程: p=∫ f ( x)dx+ C1 y ( n 1)=∫ f ( x)dx+ C1同理可得:y ( n 2)=∫[∫ f ( x )d x+ C1]dx+ C 2这样经过n次积分,即得到原方程的通解.

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例1.解方程解:

y′′= e x

连续积分两次,得: y= e x+ c1 x+ c2连续积分三次,得:1 2x y′′= e sin x+ C 2 1 2x y′= e+ cos x+ Cx+ C2 4 1 2x y= e+ sin x+ C1 x 2+ C2 x+ C3 8 C C1= 2

y′′′= e 2 x cos x例2.解方程

解:

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2.不显含y型:

y′′= f ( x, y′)解法:令 y'=p,则dp y''== p' dx

则

p′= f ( x, p )

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设其通解为 p= (x, C1)则

dy= ( x, C1 ) dxy=∫ ( x, C1 ) d x+ C 2

故得

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例3解方程

y''+ y'=x2的通解 (一阶线性方程)

解:令y'=p,则 p′= y′′则p′+ p= x2

利用一阶非齐次线性微分方程求解方法,得通解为:p= x 2 2 x+ 2+ c1 e x

又解得通解为:

p= y′

1 3 y= x x 2+ 2 x c1 e x+ c 2 3

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例4解方程(1+x2)y//–2xy/=0满足初始条件 y′|x= 0= 3的特解. y|x= 0= 1

解:令y'=p,则 p′= y′′ 2x p′= p (可分离变量) 2 1+ x通解为:ln p= ln(1+ x 2 )+ ln C p= y′= C1 (1+ x 2 )

由y/|x=0=3可得C1=3,则y/=3(x2+1)两边积分得: y=x3+3x+C2由y|x=0=1可得C2=1,则y=x3+3x+1

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3.不显含x型:

y''=f (y, y')解法:令y'=p,有dy′ dy dp= p y"= dy dx dy

代入方程得dp p= f ( y, y' ) dy

这是一个关于p,y的一阶微分方程,

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设其通解则

p= (y, C1)dy= ( y, C1 ) dx

分离变量并积分得dy∫ ( y, C1 )=

∫ dx= x+ C

2

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例5解方程 2yy''+y'2=0解:设y'=p,则dp 2 yp+ p2= 0 dy

分离变量有

dp dy= p 2y

积分得故

1 ln| p|= ln| y|+ ln C 1 2 C1 p= y

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C1 dy即= dx y再分离变量y dy= C1dx

∴即或

2 2 y= C1 x+ C 2 3

3

y

3 2

= C3 x+ C42 3

y= (C 3 x+ C 4 )

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练习:

y′′= 1+ ( y′) 2的通解.

〖分析〗此题既缺少x,又缺少y.解:设y'=p,则 y′′= p′ dp dp 2= 1+ p= dx 2 dx 1+ p arctan p= x+ C1 p= tan( x+ C1 ) dy则 y′= p= tan( x+ C1 )= tan( x+ C1 ) dx sin( x+ C1 ) dx dy= tan( x+ C1 ) dx dy= cos( x+ C1 ) d cos( x+ C1 ) dy= y= ln cos( x+ C1 )+ C 2 cos( x+ C1 )