高中数学必修1几类不同增长的函数模型1

3.2

函数模型及其应用

3.2.1 几类不同增长的函数模型 第一课时 线性函数、指数函数和 对数函数模型

问题提出

1. 函数来源于实际又服务于实际，客观 世界的变化规律，常需要不同的数学模 型来描述，这涉及到函数的应用问题.2. 所谓“模型”,通俗的解释就是一种 固定的模式或类型,在现代社会中，我们 经常用函数模型来解决实际问题.那么， 面对一个实际问题，我们怎样选择一个 恰当的模型来刻画它呢？

知识探究(一):无条件函数模型的选择 考察下列问题： 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投 资方案供你选择，这三种方案的回报如下: 方案一: 每天回报40元； 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前 一天多回报10元； 方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 思考1:设第x天所得的回报为y元，那么上述 三种投资方案对应的函数模型分别是什么？

思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？ 其单调性如何？

思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表, 分析这些数据，你如何根据投资天数选择投 资方案？

天次

方案一 当天回 报 40 40 累计回 报 40 80

方案二 当天回 报 10 20 累计回 报 10 30

方案三 当天回 报 0.4 0.8 累计回 报 0.4 1.2

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

40 40 40 40 40 40 40 40 40

120 160 200 240 280 320 360 400 440

30 40 50 60 70 80 90 100 110

60 100 150 210 280 360 450 550 660

1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6

2.8 6.0 12.4 25.2 50.8 102.0 204.4 409.2 818.8

思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数 函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？y(元)

o

x(天)

思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别 是多少元？

知识探究(二):有条件函数模型的选择

问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万 元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型:

y 0.25 x, y log 7 x 1, y 1.002 .x

其中哪个模型能符合公司的要求?

思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪几个 不等式？ 思考2:销售人员获得奖励，其销售利润x(单 位: 万元)的取值范围大致如何？ 思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司 的要求，其本质是解决一个什么数学问题？ 思考4:对于模型y=0.25x,符合要求吗？为什 么？

思考5:对于模型 y 1.002 ,当y=5时， 对应的x的值约是多少？该模型符合要求吗？x

x≈805.723 思考6

:对于函数 y log 7 x ,当x∈[10, 1000]时，y的最大值约为多少？

思考7:当x∈[10,1000]时，如何判断 log 7 x 1 y 0.25 是否成立？ x x

思考8:综上分析，模型 y log 7 x 符合公 司要求.如果某人的销售利润是343万元，则 所获奖金为多少？

理论迁移 例 某工厂今年1月，2月，3月生产某种产 品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估 计以后每个月的产量，以这三个月的产品数 量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x的关系.模拟函数可以选用 y=ax2+bx+c或y=a· bx+c.已知4月份该产品的产 量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数.

小结作业

P98练习： 2. P107习题3.2A组：1,2.