华东理工高等数学作业本第13次作业答案

第3章 （之1） 第13次作业

教学内容：§3.1微分

4

设　y(x) (cosx)

sinx

tan2x，(0 x ),求dy．

**1.

解: dy y (x)dx

　 (cosx)

sinx

cos

xln(cosx) sinx tanx 2sec2xdx.

2

**2. 设　y(x) ln(e解:

2x

1 e

4x

)求dy．

令　u e

2x

,则　dy

dydu

du

1 u

2

du　

2e

2x

dx

4x

e

.

ln (x) 设　 (x) 0,且 (x)处处可微,求d

(x) **3.

解:

ln (x)

记u

(x)，

ln (x) (x) (x) ln (x)

d (u)du (u) dx 2

(x) (x) 则

(x) (x)

2

1 ln (x)

ln (x)

dx

(x) .

3

3

**4. 求由方程

x y 3axy 0(a 0)所确定隐函数

,y y(x)的微分dy．

解: 由x y 3axy 0, 得

3xdx 3ydy 3a(ydx xdy) 0

2

2

33

dy

ay xy

2

2

ax

dx

.

**5.

求由方程ysinx cos(x y) 0所确定隐函数

y y(x)的微分dy.

解: 由　dy sinx ycosxdx sin(x y) (dx dy) 0

得　dy

ycosx sin(x y)sinx sin(x y)

dx

.

**6. 用微分方法计算

26的近似值.

解:令　f(x)

3

x，

f(x) f(x0) f (x0) xx0 27． x 1

3

26 3

127

2.959

.

**7.用微分代替增量,计算cos151的值.

解:

f(x) cosx．x0 150

56

， x 1

180,

f(151) cos150

00

(sin150)

180

32

360

0.8747

.

**8.在一个内半径为

5cm外半径为5.2cm的空心铁球的表面上镀

一层厚0.005cm

的金,已知铁的密度为个金球中含铁和金的质

7.86g/cm，金的密度为量。

3

18.9g/cm，试用微分法分别求这

3

V

4

解:

r，r1 5． r1 0.2． 1 7.86，3

3

m1 7.86 4 r1 r1 7.86 20 493.6(g)，

2

r2 5.2， r2 0.005， 2 18.9，

m2 18.9 4 (5.2) 0.005 32.1(g).

2

单摆振动周期T 2

lg

g 980cm/s，摆长l 9.8cm，要使周期

2

**9.

增大0.01s,摆长需增长多少

?

T dT

gl

l

解:

l

gl

T　

983.14

0.01 0.31(cm)

.

**10.设扇形的圆心角 60，半径R 100cm，如果R保持不变， 减

少30 ，问扇形面积约改变多少？如果 60不变，R增加1cm，问扇形面积约改变多少？

S

12

解：扇形面积公式为

R

2

，

（1） 视 为变量，则

S (

dSd

)

12

R

2

(

360

) 43.63

。

（2） 视R为变量，则

S

dSdR

R R R

3

100 1 104.7

.

**11.测得一个角大小为45，若已知其相对误差为3%，问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？

解：设角度为x，于是y sinx，由微分近似计算，有

2

y y x cosx x cos45 3% 3% 0.01666

24 4 （1）；

y

（2）

y

y xsinx

2.356%

.