结构力学电子教案

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第九章

力法应用

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§ 9-1

超静定结构影响线

绘制超静定结构的影响线需运用超静定问题的各种分析 方法——力法、位移法及渐近法等。 此外，绘制超静定结构中的位移影响线，需运用第七章 所述位移互等定理。 静力法作影响线： 通过静力计算求出基本未知量与荷载位置x 的函数关 系 ，并据此而绘出其图形即为影响线。

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如图所示超静定梁，EI = 常数。欲求右端支座反力RB影 响线。

以该支座为多余联系而将其去掉并代以多余未知力X1(设 向上为正),此X1即为RB 。 力法方程为

11 X1 1P 0

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绘出 M 1、MP图l

MP图

M ds l 11 EI 3EI

2 1

3

1P

l

ds M 1M P ( x) EI 3 l 3 (3 ) 6 EI

M 1图

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系数

P=1引起的X1方向的位移，由于P=1 是移动的，故 1P 是

11 是常数；自由项 1P 是在基本结构中荷载

荷载位置x 的函数，于是可写出X1= RB影响线方程为

1P 1 3 X 1 RB (3 ) 11 2据此，给出沿跨度若干等分处的 值即可求得各纵标值.

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图示为由四分点纵标而绘成的RB影响线，正号表示RB 向上。

RB影响线

求得了反力影响线后，梁上任意截面的内力影响线都可由 静力平衡方程求出。

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如图a所示等截面三跨连续梁，求支座1截面的弯矩M1 影响线。1

连续梁的诸支座截面弯矩一经求得，则其他各处的弯 矩、剪力及支座反力等就极易由平衡条件求出。所以连续

梁的支座截面弯矩影响线是基本未知力影响线。

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具体计算 ： 将荷载置于第一跨，设坐标为x1,求得M1影响线在第一 跨内的曲线方程式 M1(x1)。 将荷载置于第二跨，设坐标为x2 ,求得M1影响线在第二 跨内的曲线方程式 M1(x2 )。 将荷载置于第三跨，设坐标为x3,求得M1影响线在第三 跨内的曲线方程式M1(x3 )。 然后给出每一跨内若干等分处 从而绘出M1影响线。

的值即可求得各纵标值，

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设荷载FP =1作用于基本结构的第二跨，坐标为

x2 l 2 lP=1

所取基本结构为分跨的简支梁，多余约束未知力为支座 1、2截面的弯矩 M 1 ( x) 和 M 2 ( x)

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相应的力法方程为

11M 1 12 M 2 1 p 0 21M 1 22 M 2 2 p 0 绘出基本结构的MP图及单位弯

矩图 M 1 、M 2 图

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1P

ds 1 l (2 ) l2 M 1M P (1 )l (1 )(2 ) EI EI 2 3 6 EI l2

2P

ds 1 l (1 ) l2 M 2M P (1 )l (1 )(1 ) EI EI 2 3 6 EI l2

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11 22

2l 3EI

12 21

1 6 EI

代入力法方程，得

2l 1 l2 M 1 ( x2 ) M 2 ( x2 ) (1 )(2 ) 0 3EI 6 EI 6 EI 2 l 2l l M 1 ( x2 ) M 2 ( x2 ) (1 )(1 ) 0 6 EI 3EI 6 EI 由此解方程可得到荷载FP =1作用于基本结构的第二跨时， M1、 M2影响线方程，为

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l M 1 ( x 2 ) (1 )(7 5 ) 15 l M 2 ( x 2 ) (1 )(2 5 ) 15

同理，可求出荷载FP =1作用于基本结构的第一跨和第三跨 时，M1影响线方程，为

4l 2 M 1 ( x1 ) (1 ) 15 l M 1 ( x3 ) (1 )(2 ) 15

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若将每跨四等分点的 值分别代入 M 1 ( x) 方程，即可绘 出M1影响线。

其中负号表示荷载作用于该区段时将使支座1截面产生 负弯矩(上缘受拉)。

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同理可作支座2截面的弯矩M2影响线，由于结构的对称 性，它与M1影响线呈对称形式。

由上述可见，用静力法作n 次超静定结构的某一约束 力影响线时，须同时求解n 个未知约束力的影响线方程， 这对于高次超静定结构不很适宜。