微积分课后习题参考答案第六章

这是我自己做的,红色表示与参考答案不同。

第六章 微分方程与差分方程

§1微分方程的基本概念

习 题 6 — 1

1.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴xy 3y 0，y Cx 3； 解：y Cx 3是xy 3y 0的通解；

y

ax，y ax2 bx，其中a，b为常数； x

y2

解：y ax bx是y ax的特解（因为b不是任意常数）；

x

⑵y

⑶ xy x y x y yy 2y 0，y ln xy ；

2

解：y ln xy 是 xy x y x y yy 2y 0的特解；

2

⑷y 7y 12y 0，y C1e3x C2e4x； 解：y C1e3x C2e4x是y 7y 12y 0的通解； ⑸y 3y 10y 2x，y C1e解：y C1e

2x

2x

C2e 5x

x3 . 550

C2e 5x

x3

是y 3y 10y 2x的通解. 550

知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族y C1 C2x e2x中找出满足条件yx 0 1，y x 0 1的曲线. 解：由题意得：y 2C1 C2 2C2x e，

2x

∵yx 0 1，y x 0 1， ∴解得C1 1,C2 1， 故所求曲线为y 1 x e

2x

（y xe）。

2x

3.某企业的净资产W因资产本身的利息而以8%的年利率增长，同时企业还必须以每年100

万元的数额连续地支付员工的工资.试给出描述该企业净资产W（万元）的微分方程. 解：因为该企业的每年增加的净资产为(0.08W 100)万元，所以所求的微分方程为

这是我自己做的,红色表示与参考答案不同。

dW

0.08W 100. dt

§2一阶微分方程

习 题 6 — 2

1.求下列微分方程的通解： ⑴3x2 5x 5y 0； 解：

dy32

dx 5x x dy 3 5x2 x dx

dy 3 5

x2 x dx C y

12x2 15

x3

C； ⑵ydx x2 4x

dy 0； 解：ydx 4x x2

dy

dyy dx4x x2

dy1 y 14 x 1 4 x dx 14lnC

4lny lnx ln 4 x lnC

x 4 y4 Cx；

⑶y 10x y

；

解：

dy

dx

10x 10y dy10y

10x

dx dyC10y 10x

dx ln10

10 y10xCln10 ln10 ln10 10 y 10x C；

⑷y xy a y2 y

； 解： 1 a x

dy

dx

ay2 dydx

ay2

1 a x dydxay2 1 a x C

a

1ay ln 1 a x Ca y

1

C aln1 a x；

⑸cosxsinydx sinxcosydy 0； 解：cosx sinydx sinx cosydy

cosxsinxdx cosy

sinydy

cosxsinxdx cosysinydy ln1

C

lnsinx lnsiny ln

1

C

sinx siny C；

⑹

e

x y

ex dx ex y ey

dy 0；

解：ey

ex

1

dy ex

1 ey

dx

eyex

1 eydy 1 e

x

dx

这是我自己做的,红色表示与参考答案不同。

ey1 eydy ex1 ex

dx ln 1

C ln

1 e

y

ln

ex

1

ln 1

C

e

x

1 ey 1

C；

⑺y

y

x

ysinx； 解：

dydx y

sinx 1 x dyy sinx 1

x dx dyy

sinx 1 x dx lnC lny cosx lnx lnC

2.求下列微分方程的通解： ⑴xy y

x2 y2；

解：

dy2

dx yx y x

令u

y

x

得： x

du

u u u2dx

dudx u2

x

dudx

u2

x

lnC ln u u2

lnx lnC

u u2 Cx

y x2 y2 Cx2；

⑵y2

x2

y xyy ；

y

1Cx

e cosx

； ⑻ xy2 x dx y x2y

dy 0. 解：x y2 1 dx y x2 1

dy

xx2 1dx y

y2

1

dy

2yy2 1

dy 2x

x2 1dx ln C ln y2 1 ln x2 1

ln C

1 y2

1 x2

C

2

解： y

dyydy x dx x dx

2

y x 1 dy dx y x

令u

y

x

得： duu2

xdx

u

u 1 u 1udu dxx

1 1

u

du dxx ln1C u lnu lnx ln

1C

euxu C

yy Cex

；

这是我自己做的,红色表示与参考答案不同。

⑶ x2 y2

dx xydy 0

dyx2 y

2

dx

xy

令u

y

x得： xdudx u 1u

u udu dxx

udu dx1

x 2lnC

u22 lnx 1

2

lnC y2 x2lnCx2（y2 x2lnCx2）

；⑷ xx 1 2ey dx 2ey 1 x

dy 0. y x解：2ey

x x

y 1 dy y 1 2e dx

3.求下列方程的通解： ⑴

x2

1

y 2xy cosx； 解：将方程变形为

y 2xcosx

x2 1y x2

1

解对应的线性齐次方程

dydx 2xx2 1

y 0 dy2y x1 x2

dx lny ln 1 x2

lnC

y

C

1 x2

xdy

y

1 2e

dx

x

2ey

x y 1

令u

y

x

得： 1x

du

1 2e

u

dx

u 1

2eu

1 u 1

12eu

1 u 1

du dx1

1 2ue

u

x

12eu

1 u 1

1du dx lnC

1 2ueu

x ln 1

1 2ueu lnx lnC

11 2ueu

Cx

xx 2yey

C.

设原方程y

C x 1 x

2，求导得 y

C x

1 x2

2xC x

1 x22

将上两式代入原方程，化简得

C x cosx

∴C x sinx C 故原方程的通解为

y

sinx C

x2 1

；

⑵y ycosx e

sinx

；

解：解对应的线性齐次方程

这是我自己做的,红色表示与参考答案不同。

dy

dx

ycosx 0 dy

y

cosxdx lny sinx lnC

y Ce sinx

设原方程y C x e sinx，求导得

y C x e sinx C x e sinxcosx将上两式代入原方程，化简得

C x 1

∴C x x C 故原方程的通解为

y x C e sinx；

⑶xy y x2 3x 2； 解：将方程变形为

y

1xy x 3 2x

解对应的线性齐次方程

dydx 1

x

y 0 dyy dxx lny lnx lnC y

C

x

设原方程y

C x ，求导得 y x

C x x C x x2

将上两式代入原方程，化简得

C x x2 3x 2

∴C x

x33 32

x2

2x C 故原方程的通解为

x2y3C3 2x 2 x

；

⑷y ytanx sin2x； 解：解对应的线性齐次方程< …… 此处隐藏：8507字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……