微积分讲义及例题2

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第一讲

第一章 函数、极限连续（予备知识）

重点：函数性质与函数的图形

函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.

一、函数

（一）函数的概念 1．函数的定义

【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作

y f(x),x D.

x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合 y|y f(x),x D 称为函数的值域.

xoy平面上点的集合 (x,y)|y f(x),x D 称为函数y f(x)的图形.

定义域D(或记Df)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它

们的定义域与对应法则都相同.

2．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

3．函数定义域的求法

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.

（二）函数的几何特性 1．单调性

（1）【定义1.2】 设函数f(x)在实数集D上有定义,对于D内任意两点x1,x2,当 x1＜x2时,若总有f(x1)≤f(x2)成立,则称f(x)在D内单调递增（或单增）；若总有 f(x1)＜

f(x2)成立,则称f(x)在D内严格单增,严格单增也是单增.当f(x)在D内单调递增时,又

称f(x)是D内的单调递增函数.

类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数.

（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.

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2．有界性

【定义1.3】 设函数f(x)在集合D内有定义,若存在实数M＞0,使得对任意x D,都有|f(x)|≤M,则称f(x)在D内有界,或称f(x)为D内的有界函数.

【定义1.4】 设函数f(x)在集合D内有定义,若对任意的实数M＞0,总可以找到一

x D,使得|f(x)|＞M,则称f(x)在D内无界,或称f(x)为D内的无界函数.

有界函数的图形完全落在两条平行于x轴的直线之间.

函数是否有界与定义域有关,如y 1nx（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的. 有界函数的界是不惟一的,即若对任意x D,都有|f(x)|≤M,则也一定有|f(x)|≤

M a(M 0,a 0).

3．奇偶性

【定义1.5】 设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意x D,都有f( x) f(x)(或f( x) f(x)),则称f(x)为D内的奇（偶）函数.

奇函数的图形关于原点对称,当f(x)为连续的函数时,f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设f1(x) f2(x)为奇函数,g1(x),g2(y)为偶函数,则

f1(x) f2(x)为奇函数；g1(x) g2(x)为偶函数； f1(x) g1(x)非奇偶函数；

f1(x) g1(x)为奇函数；f1(x) f2(x),g1(x) g2(x)均为偶函数.

常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.

利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 1n(x) x;

x

1 e,x 0,

(2)g(x) x

e 1,x 0.

22

【解】 (1)因为f( x) 1n( x ( x) 1n( x x)

2

1n

( x x2)(x x2)

x x

2

2

1n

1x x

2

1n(x x) f(x), 所以f(x) 1n(x x)是奇函数.

( x)

, 1 e

(2)因为g( x) x

e 1,

2

x 0 x 0

x

1 e, x e 1,

x 0x 0

g(x)

4．周期性

【定义1.6】 设函数f(x)d在集合D内有定义,如果存在非零常数T,使得对任意

x D,恒有f(x T) f(x)成立,则称f(x)为周期函数.满足上式的最小正数T,称为f(x)

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的基本周期,简称周期.

我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.y x [x]是以1为周期的周期函数.y [x]与y x [x]的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.

图1-1

（三）初等函数 1．基本初等函数

（1）常数函数 y C,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为

c.

（2）幂函数 y x

,其定义域随着 的不同而变化.但不论 取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当 ＞0时,函数图形过原点（图1-2）

（a） (b)

图1-2

（3）指数函数 y x

( 0, 1),其定义域为（-∞,+∞）.

当0＜ ＜1时,函数严格单调递减.当 ＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）

.

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微积分中经常用到以e为底的指数函数,即y e（图1-3）

（4）对数函数 y log x( 0, 1),其定义域为（1,+∞）,它与y 互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作y 1nx,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）

x

x

(图1-3) (图1-4)

另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.

对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x (a,b),f″(x)＜0.

则 (1)f′(x)在(a,b)内严格单调减少；（2）f(x)在(1,b)上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,y x为凸弧.y′= 4x在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y″=-12x≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f″(x)≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.

2．反函数

【定义1.7】 设函数y f(x)的定义域为D,值域为R,如果对于每一个y R,都有惟一确定的x D与之对应,且满足y f(x)x是一个定义在R以y为自变量的函数,记作

3

2

4

x f 1(y),

并称其为y f(x)反函数.

y R.

习惯上用x作自变量,y作因变量,因此y f(x)反函数常记为y f函数y f(x)与反函数y f

2

1

1

(x),x R.

(x)的图形关于直线y x对称.

x

严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.y a与y logax互为反函.y x,x [0,+∞]的反函数为y （图1-2（b））.

3．复合函数

【定义1.8】 已知函数y f(u),u Df,y Rf.又u (x),x D ,u R ,若

x,而y x2,x （－∞,0）的反函数为y x

Df Rf非空,则称函数

y f[ (x)],x x| (x) Df

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为函数y f(u)与u (x)的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.

4．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义 …… 此处隐藏：12295字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……