2012年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――曲线方程及圆锥

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

2012年高考数学一轮复习精品学案

2012年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

一．【课标要求】

1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；

2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用.

二．【命题走向】

近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主.

1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；

2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

预测2012年高考：

1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；

2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问.

三．【要点精讲】

1．曲线方程

这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法.

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题

（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法：

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围.

（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。

（3）实际应用题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等.

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

建立坐标系 （4）知识交汇题

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题.

四．【典例解析】

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

题型1：求轨迹方程

例1．（1）一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

x2

y2 1有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求 PF1F2的重心M的（2）双曲线9

轨迹方程。

解析：（1）（法一）设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，

将圆方程分别配方得：(x 3)2 y2 4，(x 3)2 y2 100，当 M与 O1相切时，有|O1M| R 2 ①

y

当 M与 O2相切时，有|O2M| 10 R ②

将①②两式的两边分别相加，得|O1M| |O2M| 12，

P

1

12 ③

2

x

移项再两边分别平方得：

12 x ④

两边再平方得：3x 4y 108 0，

2

2

x2y2

1，整理得

3627

x2y2

1，轨迹是椭圆.所以，动圆圆心的轨迹方程是

3627

12，

由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点O1( 3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1( 3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，

∴2c 6，2a 12，∴c 3，a 6，

∴b 36 9 27，

2

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

x2y2

1。∴圆心轨迹方程为

3627

（2）如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y)，∴在已知双曲线方程中a 3,b 1，

∴c

∴已知双曲线两焦点为F1(F2，∵ PF1F2存在，∴y1 0

x x1 3x 由三角形重心坐标公式有 ，即 。

y 3y 1 y y1 0 0

3

∵y1 0，∴y 0。

(3x)2

(3y)2 1(y 0)已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有9

即所求重心M的轨迹方程为：x2 9y2 1(y 0)。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法.例2．(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

3

,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G2

22

上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x y 2kx 4y 21 0(k R)的圆心为点

Ak.

(1)求椭圆G的方程

(2)求 AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

x2y2

解（1）设椭圆G的方程为：2 2 1 （a b 0）半焦距为c;

ab

2a 12

a 6 222

b a c 36 27 9

则 c,

解得, c

a

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

x2y2

1. 所求椭圆G的方程为：

369

(2 )点AK的坐标为 K,2

SVAKF1F2

11

F1F2 2 2 22

22

（3）若k 0，由6 0 12 0 21 15 12 0可知点（6，0）在圆Ck外，

若k 0，由( 6)2 02 12 0 21 15 12 0可知点（-6，0）在圆Ck外； 不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

题型2：圆锥曲线中最值和范围问题

x2y2

1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右例3．（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线

412

支上的动点，则PF PA的最小值为 。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.【答案】9

x2y2

（2）（2009重庆卷文、理 …… 此处隐藏：9206字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……