复变函数课件2-3解析函数与调和函数的关系

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思考题用柯西-黎曼条件判断 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 解析时应注意什么 ?

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思考题答案首先判断 u( x , y ) 和 v( x , y ) 在 D 内是否可微 ;

u v u v 其次再看是否满足 C - R条件 : , ; x y y x最后判定 f ( z ) 的解析性.

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第三节 解析函数与调和函数 的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系

三、小结与思考

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一、调和函数的定义定义

如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.拉普拉斯

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.4

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二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.证 设 w f ( z ) u iv 为 D 内的一个解析函数 ,

u v u v 那末 , . x y y x 2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 y x y x y x5

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根据解析函数高阶导数定理,u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,

2v 2v , y x x y 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y[证毕]

因此 u 与 v 都是调和函数.

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2. 共轭调和函数的定义

设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.

u v u v 换句话说, 在 D 内满足方程 , 的 x y y x 两个调和函数中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数。注意：u与v的顺序不能颠倒。7

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3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西-黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.3 2 例1 证明 u( x , y ) y 3 x y 为调和函数, 并求 其共轭调和函数v ( x , y ) 和由它们构成的解析函

u 2u 解 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y8

数.

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2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y

v u 因为 6 xy, y xv 6 xydy 3 xy2 g( x ),

v 3 y 2 g ( x ), x v u 又因为 3 y 2 3 x 2 , x y9

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3 y 2 g ( x ) 3 y 2 3 x 2 ,2

(c 为任意常数)

故 g ( x ) 3 x dx x c, v( x, y ) x 3 3 xy2 c,3

得一个解析函数 w y 3 3 x 2 y i ( x 3 3 xy2 c ).这个函数可以化为 w f ( z ) i ( z 3 c ). 课堂练习 证明 u( x

, y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为

调和函数, 并求其共轭调和函数.答案

v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)10

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4. 不定积分法已知调和函数u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分 求解析函数的方法称为 不定积分法.

不定积分法的实施过程:

解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x

把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),11

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将上两式积分, 得f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,

适用于已知实部u 求 f ( z ),

适用于已知虚部 v 求 f ( z ),

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三、小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数

与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.放映结束，按Esc退出.13