2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：第6章 第8节 数学归纳

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第八节自 主 落 实 · 固 基 础

数学归纳法及其应用

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1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一个值n0(n0∈N*) (1)(归纳奠基)证明当n取______________________时命

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题成立；典 例 探 究 · 提 知 能

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明

n=k+1 当____________时命题成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立.菜 单

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2.数学归纳法的框图表示

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1.数学归纳法的第一步n取第一个值n0(n∈N*)是否一定为1呢？ 【提示】 值，不一定是1. 不一定.n0 的取值应取命题成立的第1个

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2.数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？

【提示】

数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第

一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也 叫归纳递推.两者缺一不可.另外，在第二步中证明n=k+ 1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳 法.

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1.(人教A版教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n 1 边形的对角线为 n(n-3)条时，第一步检验n等于( ) 2 A.1 B.2 C.3 D.4

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【解析】 检验n=3. 【答案】

三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应课 后 作 业

C

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2.若f(n)=1+ ( ) A.1

1 1 1 + + + (n∈N*),则f(1)为 2 3 6n-1 1 B. 5 D.非以上答案

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1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5

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1 1 1 1 【解析】 f(1)=1+ + + + ,故选C. 2 3 4 5

【答案】

C

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1 1 1 1 3.(2013· 东莞模拟)设f(n)=1+ + + + + 2 3 4 3n-1 (n∈N*),则f(n+1)-f(n)=________.

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1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)=1+ + + + + , 2 3 4 3n-1 1 1 1

1 1 1 ∴f(n+1)=1+ + + + + + + . 2 3 3n-1 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + + . 3n 3n+1 3n+21 1 1 【答案】 + + 3n 3n+1 3n+2

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1 1 1 4.用数学归纳法证明：“1+ + + + n <n(n> 2 3 2 -1 1)”,由n=k(k>1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应 增加的项的项数是________. 【解析】 由n=k(k>1)到n=k+1时，不等式左端增 1 1 1 加的项为 k + k + + k+ 1 共增加(2k+1-1)-(2k-1) 2 2 +1 2 -1 =2k项.

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【答案】

2k

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用数学归纳法证明： n(n+1) 12 22 n2 + + + = 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) (n∈N*).

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【审题视点】

(1)第一步验证n=1时等式成立.

(2)第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立，证明n=k+1时，等式成立.菜 单

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12 1 【尝试解答】 ①当n=1时，左边= = , 1·3 3 1×(1+1) 1 右边= = ,左边=右边，等式成立. 2×(2×1+1) 3 ②假设n=k(k≥1)时，等式成立. 12 22 k2 即 + + + = 1·3 3·5 (2k-1)(2k+1) k(k+1) , 2(2k+1) 当n=k+1时，左边 12 22 k2 = + + + + 1·3 3·5 (2k-1)(2k+1)菜 单

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(k+1) 2 (2k+1)(2k+3) = k(k+1) 2(2k+1) + (k+1) 2 (2k+1)(2k+3) =

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k(k+1)(2k+3)+2(k+1) 2 2(2k+1)(2k+3) (k+1)(2k2+5k+2) (k+1)(k+2) = = , 2(2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 所以当n=k+1时，命题成立. 由①②可得对任意n∈N*,等式成立.

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1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”,弄清 等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多

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少.2.由n=k时命题成立，推出n=k+1时等式成立，一要典 例 探 究 · 提 知 能

找出等式两边的变化(差异),明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.

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求 证 ： (n + 1)(n + 2)· ·(n + n) =

2n· 3· · - 1· 5· (2n

1)(n∈N*).【证明】 (1)当n=1时，左边=2,右边=21·1=2,

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∴n=1时，等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，典 例 探 究 · 提 知 能

即(k+1)(k+2)· ·(k+k)=2k·1· 5· (2k-1). 3· · 当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)· ·2k·(2k+1)(2k+ 2)

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=2·(k+1)(k+2)(k+3)· ·(k+k)·(2k+1)菜 单

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=2·2k·1· 5· (2k-1)·(2k+1) 3· ·

=2k+1·1· 5· (2k-1)(2k+1). 3· ·这就是说当n=k+1时，等式成立. 根据(1)、(2)知，对n∈N*,原等式成立.

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