《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

《线性代数》精选习题及解答

第一章 行列式

1.1 目的要求

1．会求n元排列的逆序数；

2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 3．深入领会行列式的定义；

4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质；

7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．

1.2 重要公式和结论

1.2.1 n阶行列式的定义

a11a21

n阶行列式 D=

...an1a12a22...an2...a1n...a2nt

=∑( 1)a1p1a2p2...anpn.

......(p1p2...pn)...ann

其中p1p2...pn是n个数12…n的一个排列，t是此排列的逆序数，∑表示对所有n元排列求和，故共有n！项． 1.2.2 行列式的性质

1．行列式和它的转置行列式相等；

2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；

3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；

4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；

5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即

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a11Mai1+bi1

Man1

a12

L

a1na11a12Mai2M

MMM

ai2+bi2Lain+bin=ai1

MMM

an2annan1L

La1n

MLain+

M

a11Mbi1Man1

a12Mbi2M

La1n

MLbin

M

an2Lannan2Lann

6． 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 1.2.3 行列式按行（列）展开

设D为n阶行列式，则有

∑∑

n

n

aik

K=1

AA

jk

Di=j

=ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=

0ij≠ Di=j

=ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=

≠0ij

aik

K=1

jk

其中Ast是ast的代数余子式. 1.2.４ 克拉默法则

１．如果线性非齐次方程组

a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1

ax+ax+L+ax=b 2112222nn2

MMMMM

an1x1+an2x2+L+annxn=bn

的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解x1=

D1

（ i=1，2，…，n），其中Di是D中第iD

列元素（即xi的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．

2．如果线性齐次方程组

a11x1+a12x2+L+a1nxn=0 ax+ax+L+ax=0 2112222nn

MMMMM

an1x1+an2x2+L+annxn=0

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的系数行列式D≠0，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0．

1.2.5 一些常用的行列式

1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.

a11La1kb11Lb1n

MM，D2=MMM，则 2．设 D1=M

ak1Lakkbn1Lbnn

a11La1kMc11M

M

M

0b11Lb1nMMMbn1Lbnn1a2...a

n 12

ak1Lakk

Lc1kMM

=D1D2.

cn1Lcnk

1

3．范德蒙行列式

.........

1an...

n 1

n

a1...a

n 11

=

1≤i<j≤n

∏

(aj ai).

...a

1.2.6 计算行列式的常用方法

1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2．利用n阶行列式定义计算行列式； 3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5．利用数学归纳法计算行列式； 6．利用递推公式计算行列式；

7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8．利用加边法计算行列式； 9．综合运用上述方法计算行列式.

1.3 例题分析

例1.1 排列14536287的逆序数为 ( )

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(A) 8 (B) 7 (C) 10 (D) 9

解 在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2； 2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．

例1.2 下列排列中（ ）是偶排列.

(A)54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321

解 按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C）．

． 例1.3 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（ ）

(A) a13a44a32a41a55 (B) a21a32a41a15a54(C)a31a25a43a14a52(D) a15a31a22a44a53 解 由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D）．

01311

则λ的取值为（ ） 例1.4 行列式D1=0λ 10,D2=232, 若D1=D2，

10λ153

(A) 2, —1 (B) 1, —1 (C)0, 2 (D)0,1

解 按三阶行列式的对角线法则得D1=(λ+1)(λ 1),D2=0.若D1=D2，则

2

λ

(λ+1)(λ 1)2=0，于是λ=1, 1，故正确答案为（B）．

λx1+x2+x3=1

例1.5 方程组 x1+λx2+x3=1有唯一解，则（ ）.

x+x+λx=1

23 1

(A)

λ≠ 1且λ≠ 2 (B) λ≠1且λ≠ 2 (C) λ≠1且λ≠2 (D) λ≠ 1且λ≠2

解 由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式

λ11

1λ1=(2+λ)(λ 1)2≠0 11λ

． 即λ≠1且λ≠ 2，故正确答案为（B）

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例1.6 D=

20062008

=（ ）．

20042006

分析 对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算．

解 此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解．

D=

故答案为4.

20062008 22008 22

c1 c2c2+1003c1=4，

20042006 22006 20

12

例1.7 D=

342341341241

=（ ）． 23

分析 如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法) ．

解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得

1

2D=

3410=10

00

2341341214101010

234121==10341232

4123431

3411412111111012 =10

201 2 30 3 2 111

12 1

=160．

0 4000 4

2xx121x1 ，则x4的系数为（ ），x3的系数为（ ）． 例1.8设f(x)=

32x1111x

分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．

解 从 …… 此处隐藏：8159字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……