大一高等数学上册习题及答案

2003 级《高等数学（上） 》试题

一、试解下列各题（48 分）

x2 x2 ； dx ； 3. 求 lim 1. 设y cosln(x e )， 求y ； 2. 求 x 1 x x x e 3 1 dx ； 4. 确定y ln x x的单调区间； 5.计算 1 x 2 (1 x 2 ) 6.求微分方程 y e x y e y 的通解； 1 1 7. 求 lim [ 2 ln( 1 x )] ； x x x 0

2 x

x e t cost 8. 由参数方程 确定函数y y( x)， 试求y关于x的微分(t k ) 。 t 4 y e sin t 二、设曲线方程为 e xy 2 x y 3 ，求此曲线在纵坐标为 y 0 的点处的切线方程。

三、 计 算 3

x dx 。 2 sin x 4

d2y dy 2 y 5 满足初始条件 y x 0 1, y x 0 2 的特解。 四、求微分方程 2 3 dx dx

五、 求f ( x) x ( x 1) 在[ 2， 2]上的最大值与最小值。 x ln t 1 dt ， 求证 f ( x ) f ( )( x 0) 。 六、 设f ( x) 1 1 t2 x 七、设f ( x)在[0， 2a]上连续， 且f (0) f (2a)， 证明至少有一点 [0， 2a]， 使得 f ( ) f ( a)。

2 3

1 3

2003级《高数》上试题解答

一、 1. 设y cos ln( x 2 e x )， 求y 解 y sin ln( x 2 e x )

x2 2. 求 dx 1 x

1 x ( 2 x e ) 2 x x e

1 2 1 (x 1 )dx x x ln 1 x C 2 1 x 2x x2 2 3. 求 lim lim 1 e x lim x 0 x x x x e x e

4. 确定y ln x x的单调区间 1 y 1 0 x 1 x x (0,1), y 0; x (1, ), y 0 y在(0,1)单调增, 在[1, )单调减.

5. 计算 1

3

1 dx 2 2 x (1 x )

3

1 1 1 3 3 1 [ 2 ] dx | arctan x | 1 1 x 1 x2 x 3 1 3 12

6. 求微分方程 y ( x) e x y e y的通解

解： y ( x) e x y e y为可分离变量方程

变量分离 e ydy (e x 1)dx

两边积分得 e y e x x C

1 1 7. 求 lim[ 2 ln( 1 x )] x x 0 x

1 1 x ln(1 x ) 1 x lim lim x2 x 0 2x x 0 x 1 lim x 0 2 x (1 x ) 2

x e t cos t 8. 由参数方程 确定函数y y( x ), t y e sin t k ) 4 cos t sin t 解 先求函数y关于自变量x的导数 dy cos t sin t dx dy cos t sin t dx e t (cos t sin t )dt t dy e (cos t sin t )dt dx cos t sin t 试求y关于x的微分( t

x e t cos t 8. 由参数方程 确定函数y y( x ), t y e sin t 4 解 先求函数y关于自变量x的导数 试求y关于x的微分( t

k )

dx e t (cos t sin t )dt dy e t (cos t sin t )dt

t cos t sin t 由于 e (cos t sin t ) x y dy dx cos t sin t e t (cos t sin t ) x y

更准确：

x y dy dx x y

二、设函数e xy 2 x y