03年高考理科数学全国卷

03年高考理科数学全国卷

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

4

1．已知x ( ,0),cosx ,则tg2x （ ）

2

5

A．

724

8sin cos

2

B．

724

C．

247

D．

247

（ ）

2．圆锥曲线

的准线方程是

A． cos 2 B． cos 2 C． sin 2 D． sin 2

2 x 1,x 0,

,若f(x0) 1,则x0的取值范围是3．设函数f(x) 1

2 x,x 0.

（ ）

A．（－1，1） B．（－1，+ ） D．( , 1) (1, )

D．2

（ ）

C．( , 2) (0, )

4．函数y 2sinx(sinx cosx)的最大值为

A．1

2

2

B．2 1

2

C．2

5．已知圆C:(x a) (x 2) 4(a 0)及直线l:x y 3 0.当直线l被C截得的弦长为23时，则a=

A．2

B．2

9

2

C．2 1

8

D．2 1

32

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A．2 R2

2

B． R

4

2

2

C． R

3

2

D． R

14

2

7．已知方程(x 2x m)(x 2x n) 0的四个根组成的一个首项为

A．1

B．

34

的等差数列，则|m n| （ ）

C．

12

D．

38

M、N两点，MN中点的横坐标为

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y x 1与其相交于

23

,则此双曲线的方程是 x

2

x

2

（ ）

y

2

A．

3

y

2

4

1 B．

4

3

1 C．

x

2

5

y

2

2

1 D．

x

2

2

y

2

5

1

9．函数f(x) sinx,x [

3 2,2

]的反函数f

1

(x) （ ）

A． arcsinx,x [ 1,1] C． arcsinx,x [ 1,1]

B． arcsinx,x [ 1,1] D． arcsinx,x [ 1,1]

03年高考理科数学全国卷

10．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹

角为 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），

设P4坐标为（x4,0),若1 x4 2,则tg 的取值范围是

A．(,1)

3

2

2

2

D．(,)

5322

（ ）

1

B．(,)

33

21

12

C．(,)

52

21

11．lim

C2 C3 C4 Cn

1

1

1

n

n(C2 C3 C4 Cn)

16

（ ）

A．3 B．

13

C． D．6

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3

B．4

C．33

D．6

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．(x

2

12x

)展开式中x的系数是99

14．使log2( x) x 1成立的x的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共

有 种.（以数字作答）

16．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点，能得出l⊥面MNP

的图形的序号是

.（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60°，且|z 1|是|z|和|z 2|的等比中项. 求|z|.

18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. 19．（本小题满分12分）

已知c 0. 设

P：函数y c在R上单调递减.

Q：不等式x |x 2c| 1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围. 20．（本小题满分12分）

x

03年高考理科数学全国卷

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 ( arccos

210

)方

向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）

已知常数a 0,在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上

BEBC

CFCD

DGDA

移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和

为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）设{an}是集合{2 2|0 s t,且s,t Z}中所有的数从小到大排列成的数列，

t

s

即a1 3,a2 5,a3 6,a4 9,a5 10,a6 12, .

将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求a100.

（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

设{bn}是集合{2 2 2|0 r s t,且r,s,t Z}中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知bk 1160,求k.

r

t

s

2003年普通高等学校招生全国统一考试

03年高考理科数学全国卷

数 学(理工农医类)答案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．

212

14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤

三、解答题：

17． 解：设z rcos60 rsin60i，则复数z的实部为

|z 1| |z| |z 2|即:(z 1)(z 1) |z|整理得r 2r 1 0.解得:r

22

r2

2

2

.z z r,zz r由题设

(z 2)(z 2), r r 1 rr 2r 4,

2 1.

2

2 1,r 2 1(舍去).即|z|

18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC 平面ABC, CDEF为矩形连结DE,G是 ADB的重心, G DF.在直角三角形EFD中EF

2

FG FD

13

FD, EF 1, FD 33

2

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