高中数学必修4平面向量测试题(附详细答案)

平面向量单元测试

一、选择题 【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( )

A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c C.

D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b

=2e,

=-2e,|

|=2,则四边形ABCD是( )

2、设e是单位向量,

A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 4、设0≤θ＜2π,已知两个向量度的最大值是( ) A.

B.

C.

D.

=(cosθ，sinθ),

=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量

长

5、设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )

A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)

6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为θ,则tanθ等于( )

A. B.- C.3 D.-3 =a+kb,

=la+b(k、l∈R),且

与

共线,则k、l应满足( )

7、向量a与b不共线,

A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0

8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为( )

A.3 B.2 C. D.

9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0 C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0

10、设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若

,且

·

=1,则P点的轨迹方程是( )

A.3x2+y2=1(x＞0,y＞0) B.3x2y2=1(x＞0,y＞0)

C.x2-3y2=1(x＞0,y＞0) D.x2+3y2=1(x＞0,y＞0)

11、已知△ABC中，点D在BC边上，且

，若

,则r+s的值是( )

A. B.0 C. D.-3

12、定义a※b=|a||b|sinθ，θ是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，已知点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，则

※

等于( )

A.-2 B.0 C.6.5 D.13 二、填空题 【共4道小题】

1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是____________. 2、若

=2e1+e2,

=e1-3e2,

=5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数λ=___________.

3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________. 4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是

_________________.

图2-1

①

②

+

③

④

+

⑤

-

三、解答题 【共6道小题】 1、如图2-2所示，在△ABC中,

=c,

=a,

=b,且a·b=b·c=c·a，试判断△ABC的形状

.

图2-2

2、如图2-3所示,已知|

|=|

|=1，

、

的夹角为120°,

与

的夹角为45°,|

|=5,用，表示.(注：cos75°=

)

图2-3

3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),又有

⊥

,

求

的坐标.

=(6，1)，

=(-2，-3).若有

∥

,

4、已知平面向量a=(,-1),b=(,).

(1)证明a⊥b;

(2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,求函数关系式k=f(t).

5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=

,且c∥a,求c的坐标;

(2)若|b|=

,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.

6、如图2-4所示,已知△AOB,其中=λa(0＜λ＜1),

=a,=b,而M、N分别是△AOB的两边OA、OB上的点,且

=p用a、b表示出来

.

=μb(0＜μ＜1),设BM与AN相交于P,试将向量

图2-4

平面向量单元测试参考答案

一、选择题

1.参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中应为

;D中b⊥c

b·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.

答案：D

主要考察知识点:向量、向量的运算 2.参考答案与解析:解析：形.又因为|

|=|

,所以|

|=|

|,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边

|=2,所以四边形ABCD是菱形.

答案：B

主要考察知识点:向量、向量的运算

3.参考答案与解析:解析：∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6. 答案：A

主要考察知识点:向量、向量的运算 4.参考答案与解析:解析：所以|

|=

=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),

≤

=

.

答案：C

主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示

5.参考答案与解析:解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6). 答案：D

主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示

6.参考答案与解析:解析：由已知得a·b=3×(-3)+4×1=-5，|a|=5，|b|=

，

所以cosθ=

由于θ∈［0，π］,

.

所以sinθ=.

所以tanθ==-3.

答案：D

主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 7.参考答案与解析:解析：因

为

与

共线,所以

设

=

λ

(λ∈R),即

la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以(l-λ)a+(1-λk)b=0.

因为a与b不共线,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.

答案：D

主要考察知识点:向量、向量的运算

8.参考答案与解析:解析：因为=

λ,所以(4，4)=λ(2，2).所以λ=.

答案：C

主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示

9.参考答案与解析:解析：根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0. 答案：D

主要考察知识点:向量、向量的运算

10.参考答案与解析:解析：设P(x,y),则Q(-x,y).设

A(xA),xA,B(0,yByB0,

=(xAx,-y).

=(x,y-yB)

∵又∵

·

=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA==1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,

x,yB=3y(x＞0,y＞0).

∴(-x,y)·(x,3y)=1,

即x2+3y2=1(x＞0,y＞0).

答案：D

主要考察知识点:向量、向量的运算

11.参考答案与解析:解析：△ABC中，

答案：B

主要考察知识点:向量、向量的运算 12.参考答案与解析:解析：由题意可知计算得另一方面∴cosθ=0,

又θ∈(0,π)，从而sinθ=1，∴

※

··

=-3×2+2×3=0， =|

||

==(

)=

-，故r+s=0.

=(-3,2),=(2,3),

|cosθ，

=||||sinθ=13.

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