线性代数--高等教育出版社

线性代数

线性代数高等教育出版社

线性代数

第一章§1

行列式

二阶与三阶行列式 a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

用消元法解二元线性方程组

1 2

1 a22 : 2 a12 :

a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,

两式相减消去 x2,得

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(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 ;

类似地，消去 x1,得 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 b1a21 ,当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为

b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21由方程组的四个系数确定.

(3)

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为了进一步讨论方程组的解与未知量 的系数和常数项之间的关系，引入 二阶行列式

a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22二阶行列式的计算主对角线

对角线法则a12

a11

a11a22 a12a21 .

副对角线

a 21

a22

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若记

b1 D1 b2

a12 , a22

a11 b1 D2 . a21 b2

则二元线性方程组的解可表示为

b1

a12

a11

b1

D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22

D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22

注意 分母 D 是由方程组的系数所确定的二阶行列 式(称为系数行列式).

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进而,对三元一次线性方程组,引入 三阶行列式

a11 D a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,

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三阶行列式的计算方法 ——对角线法则

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

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利用三阶行列式求解三元线性方程组如果三元线性方程组

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3的系数行列式

a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33

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若记

b1 D1 b2 b3

a12 a13 a22 a23 , a32 a33

a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3

a13 a23 , a33

a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3则三元线性方程组的解可表示为:D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D

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§2 全排列及其逆序数

把n个不同的元素排成一列，叫做这 n个元素的全排列 (简称排列).

n个不同的自然数，规定由小到大为 标准次序.在n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.

一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

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逆序数的计算方法:设 p1 p2 … pn 为自然数 1, 2, …, n 的一个排列 , 考虑 pi ( i = 1, 2, …, n ), 如果比 pi 大的且排在 pi 前

面的元素有 ti 个, 就说这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的逆

序数之总和就是这个排列的逆序数: t ( p1 p2 … pn ) = t 1+ t 2 + ... + t n 例 1 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为 t (32514) =0+1+0+3+1 = 5n n 1 t ( n (n 1) … 2 1 ) = 0+1+ 2+ …+( n 1 ) 2

例2

排列 n ( n 1 ) … 3 2 1 的逆序数为

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§3 n 阶行列式的定义三阶行列式定义为

a 11 a 21 a 31 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31

a 12 a 22 a 32123 231 312 132 213 321

a 13 a 23 a 33t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3

a1 p1 a2 p2 a3 p3

( 1)

t ( p1 p2 p3 )

a1 p1 a2 p2 a3 p3

三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和.

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三阶行列式可以写成

a11 a 21 a 31

a12 a 22 a 23

a 23 ( 1) a 33

a13

t ( p1 p2 p3 )

a1 p1 a 2 p2 a 3 p3

其 p1 p2 p3是 ，3的 个 列 , 中 1 2, 一 排

t ( p1 p2 p3 )是 列 p1 p2 p3 的 序 . 排 逆 数

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定义 n 阶行列式

D

a11 a 21

a12 a 22

a1n a2n

a n1 a n 2 a nnt p1 p2 pn

p1 p2 pn

1

a1 p1 a 2 p2 a np n

其中 p1 p2 pn 为自然数 1, ,n 的一个排列， 2, t ( p1 p2 pn ) 为这个排列的逆序数.

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n 阶行列式简记为D = det ( aij ) ,其中数 aij 为行列式 D 的(i,j)元。 说明 1、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;

2、 n 阶行列式的每一项都是位于不同行、 不同列 n 个元素的乘积; 3、 一 阶行列式 |a| = a, 注意不要与绝对值记号 相混淆。

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特殊行列式 的计算 例 3 上(下)三角行列式 a11 a12 a1n

a11 a 21 a n1 a 22 an 2 a nn

a 22

a2n a nn

( 1)t (12 n) a11a22 ann ( 1)0 a11a22 ann a11a22 ann

a11

对角行列式

a 22 a nn

a11a22 ann