第06章 分离变量法_2012

第06章

分离变量法

主要内容 前言

分离变量理论 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导

拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理

§6.1 前

言

分离变量法是求解线性定解问题的一个最常用方法。 一个偏微分方程中至少有两个自变量，分离变量法就是 通过将解中各个自变量分离开来(即把解写成几个只包含 一个自变量的函数的乘积的形式),从而把原来的偏微分 方程及边界条件化成几个常微分方程的边值问题的方法。 要想做到上述分离，其前提条件是原来的偏微分方程及 边界条件都是齐次的。

§6.1 前

言

分离后，通过解几个常微分方程的边值问题(本征值问 题),得到原偏微分方程的无穷多个满足边界条件且自变 量已分离的特解。再把所有的特解叠加起来得到一个无穷 级数并利用初值条件(或没有用过的边界条件)确定其中 的系数，最终得到原定解问题的形式解。

前 言 使用分离变量法时有两个关键的问题需要回答： 一是把解写成上述无穷级数形式是否可能？是否合 理？ 二是如果方程或边界条件不是齐次的，怎么办？ 第一个问题是理论基础，这由二阶线性常微分方程的本 征理论(施图姆-刘维尔理论)给出了圆满答案。(教材 的第6节作了简要概述)

第二个问题原则上就是要设法作齐次化处理，特别是首 先要把边界条件化成齐次的。

前 言 分离变量法不仅可以用于直角坐标系，还可在其他坐标 系内应用，如极坐标系、柱坐标系、球坐标系等，到底选 用什么坐标系要看所考虑的区域的形状，总的原则是：在 所选用的坐标系内区域的边界能用最简单的方程来表述， 即只含有一个自变量。

前 言 基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条 件确定叠加系数。

特点： 物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； 把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 适用范围： 波动问题、热传导问题、稳恒场问题等

主要内容 前言

分离变量理论 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导

拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理

§6.2 分离变量理论对于给定的偏微分方程实施变量分离应具备什么条件？

泛定方程实施变量分离的条件为此，以二阶线性偏微分方程为例来讨论。二元二阶线性齐 次偏微分方程的一般形式如下：A(x, h)uxx+ B(x, h) uxh+ C(x, h) uhh+ D(x, h) ux+ E(x, h) uh + F (x, h) u = 0

上

述方程总可以通过自变量变换变成如下的标准形式： a(x, y)uxx+ c(x, y) uyy+ d(x, y) ux+ e(x, y) uy + f (x, y) u = 0 而且 (1)当a=-c时，它是双曲型方程； (2)当a=c=0时，它是抛物型方程； (3)当a=c≠0时，它是椭圆型方程；

分离变量理论假设 u(x,y)=X(x)Y(y),其中X和Y为二次可微的单变量函 数， 满足上述标准形式的方程，代入方程后有aXxxY+ cXYyy + dXxY + eXY y + f XY = 0

方程的系数不全为常数；

方程的系数不全为常数；

分离变量理论情况1:方程aXxxY+ cXYyy + dXxY + eXY y + f XY = 0的系数不 全为常数

假设存在函数P(x,y),使得方程两边除以P(x,y)后能变为a1(x)XxxY+ b1(y) XYyy + a2(x) XxY + b2(y) XY y + [a3(x)+ b3(y)] XY = 0

两边再除以XY后得： X X Y Y a1 a2 a3 b1 b2 b3 X X Y Y 上式左边为x的函数，右边为y的函数。要等式成立，只 有两边等于同一个常数，从而可得到两个常微分方程： a1 X a 2 X ( a3 ) X 0

b1Y b2Y (b3 )Y 0

分离变量理论情况2:方程 aXxxY+ cXYyy + dXxY + eXY y + f XY = 0的系数均为 常数 直接在两边除以XY后得： X Y X Y a c d e f 0 X Y X Y

即

X X Y Y a d c e f X X Y YaX dX X 0 cY eY ( f )Y 0

可得到两个常微分方程：

分离变量理论由此可见，变系数二阶线性齐次方程不是总能实施变量分 离的，必须找到那个能使方程得到转化的函数P(x,y)。然而，对于二阶线性齐次常系数方程来说，总是可以实施 变量分离的。

分离变量理论 边界条件实施变量分离的条件对于一维情形，常见的齐次边界条件为：u x x 0,0

u x

0,x x0

u hu 0 x x x0

将u(x,t)=X(x)T(t)代入得X ( x 0 )T ( t ) 0 , X x ( x 0 )T ( t ) 0 ,

X x ( x 0 ) hX ( x 0 ) T (t ) 0

由于要求u(x,t)不是恒等于零的解，故要求T(t) ≠0,得 X ( x 0 ) 0 , X x ( x 0 ) 0 , X x ( x 0 ) hX ( x 0 ) 0

由此可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量 未知函数的边界条件。此外对边界条件实施变量分离时， 最好选择适合于边界的坐标系。如矩形区域宜采用直角坐 标系，圆形或扇形区域宜采用极坐标系。

主要内容 前言

分离变量理论 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导

拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理

§6.3 有界弦的自由振动 下面以一维两端固定弦的自由振动为例来讨论分离变量法的基本思路和主要步骤。 其定解问题如下： 2u 2u a2 2 , 泛定方程： t 2

x 0 x l, t 0

边界条件： u x 0 0, u x l 0, t 0

初始条件： u t 0

u ( x ), t

( x ), 0 x lt 0

在此定解问题中，方程和边界条件都是齐次的，但初 始条件是非齐次的。