2012高中数学 1.3.2 函数的极值与导数(1)课件 新人教A版选修2-2

行动指南：策略+方法+勤奋+信心+恒心=成功

我行 我能 我要成功 我能成功

开胃果

我行 我能 我要成功 我能成功

观察下图中的曲线

图(1)

图(2)

1、观察图(1)中 a点的函数值f(a),比较它与其临近点的函数值！ 2、观察图(2)中 b点的函数值f(b),比较它与其临近点的函数值！

开胃果

我行 我能 我要成功 我能成功

2、观察函数 f x 2x3 6x2 7 的图象， 思考： 函数y=f(x)在点x=0,x=2处的 函数值，与它们附近所有各点处 的函数值，比较有什么特点?。f(0) 这时的函数值叫 做函数的极值

f(2)

数学建构 函数极值的定义

我行 我能 我要成功 我能成功

一般地，设函数f(x)在点a、b附近有定义， 如果对a附近的所有的点,都有f(x)﹤f (a) ,我们 就说f (a)是函数f(x)的一个极大值, 记作: y极大值= f (a); 如果对b附近的所有的点,都有f(x)﹥f (b), 我们就说f (b)是函数f(x)的一个极小值， 记作: y极小值=f (b). 极大值与极小值统称为极值.

点a叫做函数y=f(x)的极大值点. 点b叫做函数y=f(x)的极小值点.

回味反思

我行 我能 我要成功 我能成功

观察下列图像，结合定义思考以下问题：(1)极值是某一点附近的小区间而言 1、极值是局部性质还是整体而言？ 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; (2)函数的极值不一定唯一,在整个定 2、极值唯一吗？ 义区间内可能有多个极大值和极小值； 3、极大值与极小值大小关系是否确定？ (3)极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. y P(x1,f(x1)) y=f(x)

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

数学建构

我行 我能 我要成功 我能成功

观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方 法,看极值与导数之间有什么关系?y xf (x)

x0左侧f (x) >0

x0f (x) =0 极大值

x0右侧f (x) <0

o ay

x0

b x

f(x)x

增 x0左侧f (x) <0

减 x0右侧f (x) >0

x0f (x) =0 极小值

f (x)o a b x

减

增

x0

导数左正右负为极大，右正左负为极小 函数左增右减为极大，右增左减为极小

f(x) 请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？

学生活动

我行 我能 我要成功 我能成功

函数y=f(x)的导数y'与函数值和极值之间的关系为( D )

A、导数y'由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y'由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值

C、导数y'由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y'由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

小试牛刀篇

我行 我能 我要成功 我能成功

1 3 1 例1:求函数 f(x) x 4 x 的极值 3 3

1 3 1 解: ∵ f(x) x 4 x 3 32

又 ∵ f (x)=x - 4,由f (x) =0解得 x1=2,x2=-2.当x变化时, f (x) 、 f(x)的变化情况如

下表： x (-∞,-2) +-2

(-2,2)

2 0极小值f(2)

(2,+∞) +

f (x) f(x)

0极大值f(-2)

-

∴ 当x=-2时,y极大值=17/3;当x=2时, y极小值=-5.

练习2求下列函数的极值:

(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: 1 (1) f ( x) 12 x 1, 令 f ( x) 0, 解得 x . 列表: 122 3

x

f ( x)f (x)

1 ( , ) 12–

1 12 0

1 ( , ) 12 +

单调递减

49 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x 时, f (x)有极小值 f ( ) . 12 24 12

练习2求下列函数的极值:

(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: ( x) 3x 2 27 0, 解得 x1 3, x2 3.列表: (2) 令f2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ( x)

+

0

+单调递增

f (x) 单调递增

54

54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2求下列函数的极值:

(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: ( x) 12 3x 2 0, 解得 x1 2, x2 2. (3) 令f2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ( x) 3 3x 2 0, 解得 x1 1, x2 1.所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

下图是导函数 y

f (x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y f (x) 有极大值? y f (x)有极小值? x x1 或 x x4 (3)函数 y f (x)有极大值?(2)导函数

习题 A组 4

x x2

(4)函数

y f (x)有极小值?

x x3 x x5

渐入佳境篇

我行 我能 我要成功 我能成功y

若寻找可导函数极值点,可否 只由f (x)=0求得即可? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?

f (x) x3

O

x

f (x)=3x 当f (x)=0时，x =0, 而x =0不是该函数的极值点. f (x0) =0

2

x0 是可导函数f(x)的极值点x0 是函数f(x)的极值点

x0左右侧导数异号f (x0) =0

一览众山小

我行 我能 我要成功 我能成功

请思考求可导函数的极值的步骤:1.确定函数的定义域，求导数 f (x) 2. 求方程 f (x) =0的根,这些根也称为可能极值点；

3,检查 f (x )在方程 f (x )=0的根的左右两侧的 符号，确定极值点。(通过列表法)

强调要想知道 x0是极大值点还是极小值点就 必须判断 f (x0)=0左右侧导数的符号.

感受高考

我行 我能 我要成功 我能成功

(2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) 导函数 f (x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有( A )个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4y

y f (x)

x1 x2aO

b

x3

x

注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别