实验5 气垫导轨上简谐振动的研究

实验5 气垫导轨上简谐振动的研究

实验5 气垫导轨上简谐振动的研究

振动现象是自然界中广泛存在的一种运动现象，如钟摆的运动，活塞的运动，以及各种乐器的发声都是振动。从普遍意义上讲，任何一个物理量（如电场强度、磁场强度、电流强度、电压）在某一数值附近反复的变化，都可以称为振动。因此，自然界中存在的各种各样的振动，虽然振动的具体性质可能不同，但是描写它们的数学规律却有许多共同之处。

简谐振动是最简单最基本的振动，是物体在线性回复力的作用下离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数规律随时间变化的一种运动。可以证明，任何一种复杂的振动都可以分解为几个或多个不同频率、不同振幅的谐振动的合成。

振动是声学、建筑学、地震学、机械、造船、电工、无线电技术等的基础，所以研究振动是很有必要的。

[实验目的]

1．熟悉气垫导轨的使用。

2．观察振动现象，测定阻尼振动的特征参量。 3．通过实验了解振动的规律。 [实验原理]

气垫导轨是采用气垫进行力学实验的装置。它可以消除导轨对运动物体（滑块）的直接摩擦，如图2所示，它的主体是一根水平放置的空心菱柱形铝导轨。一端密封，另一端通入压缩空气。在气轨的两个上表面上钻有很多排列整齐的小孔，通入的压缩空气由小孔喷出，在滑块和气轨之间形成薄薄的空气层，滑块就漂浮在气垫上。滑块的下表面与气轨的上表面是经过精密加工严密吻合的。由于气垫的存在，滑块就可以在气轨上作近乎无摩擦的运动。滑块两端和气垫两端都有缓冲弹簧，滑块可在两端弹簧间沿气轨来回运动。气垫底部装有调平螺钉，可以调节气轨水平。

将质量为M的滑块放在水平的气垫导轨上，滑块的两端分别用劲度系数为K1和K2的弹簧分别固定在导轨的两端。如图1所示，把滑块从静止位置向左（或右）水平地拉到离开静止位置的位移为X处，然后释放弹簧，滑块就在弹性力（忽略阻力）的作用下振动。

由于弹性力是变力，其大小与滑块的位移X成正比，方向与位移相反，即弹性力满足下式：

F= (K1+K2)X

（1）

dX

根据牛顿第二定律 F=Ma=Mdt2

d2Xdt2

d2X

2

∴M

（2）

= (K1+K2)X或

dt2

= K1

+K2

XM

令ω0=

K1+K2 则有dX2

= ωX 02

Mdt

2

上式的解为：

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X=X0cos(ω0+δ0)

（3）

此式所描述的运动称为简谐振动，X0是滑块位移的最大值，称为振幅，由初始条件确定。

ω0称为固有圆频率。

图 1 实验原理图

若令T0表示谐振动的周期，则

ω0=

2π2π或

=2πT0=ω0T0 M

K1+K2

由上可知，对于弹簧振子这类振动系统，它的振动周期只取决于系统本身的性质M和K1、K2，三者一定，不论振幅如何，T0是一定的。所以把T0称为振动特征量，而M、K1、K2则称为振动特征参量。

实际上滑块运动时还要受到空气阻力f的作用，只要滑块运动的速率不是很大，阻力

f的大小就与滑块运动速度的大小成正比，方向与速度方向相反，即f= γ

力系数。在考虑阻力的情况下，式(2)可写为：

dX

，γ是阻dt

d2Xdt2

令2β=

=

dX(+)X

) K1K2

MdtM(

γ

γ

M

，β是阻尼系数，则上式可写为：

d2Xdt2

解此式可得：

+2β

dX2

+ω0X=0dt

X=X0e βtsin(ωt+ )

（4）

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其中

2

ω=0 β=

2

K1+K2 γ

M4M2

2

（5）

式(4)表示有阻力作用下运动方程。振动仍然是周期性的，但它的振幅X0e

βt

是随时间t的增

长而按指数关系衰减的，这种振动称为阻尼振动。定义阻尼振动的振幅减到初始振幅的一半

时所需要的时间叫阻尼振动的半衰期，用T表示。根据上述半衰期的定义可得：

X

e

β

T

1

=

1

X2

e

β 0

解之得：

βT=ln2∴T=

ln2

β

=

2M

γ

×0.693

（6）

半衰期表示阻尼振动的一个特征量，而γ则叫作阻尼振动的特征参量。 [实验仪器]

气垫导轨、秒表、焦利秤、物理天平

[实验步骤]

1．实验装置如图2所示，打开气源开关，给气轨送气，使滑块在气轨上运动。调平导轨：调节导轨的单垫脚螺丝，使放在导轨上的滑块不动，或者移动非常缓慢，这时将手指放在滑块前方，当滑块与手指接触时，立即改变运动方向而不停止，如此反复几次，都是这样，就认为气垫调平了。

图 2 气垫导轨

2．用物理天平称量滑块的质量M（单次测量）。 3．测定阻尼振动半衰期T。

（1）将滑块和弹簧按图1连接好，把静止位置作为原点“0”点，移动滑块到某处（一般离开原点10cm左右，不宜太大），然后放开，使滑块作阻尼振动，同时用秒表计时。

（2）用秒表测出振幅衰减一半所需要的时间T，测三次求平均值T。

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（3）将平均值T代入式（6），求出阻力系数γ。

4．测出滑块50次全振动所需要的时间T50，共测三次，计算平均值T50。 5．利用焦利秤测弹簧的劲度系数K1和K2。

（1）焦利秤的介绍参见液体表面张力系数测定实验，在弹簧下先挂一砝码（30g左右），使弹簧处于伸长情况下，记下这时标尺的位置x0。（调G使玻璃管D的横线及其在镜中的像与镜面的横线三者共线）以后每增加m=10.0g砝码记下弹簧伸长的位置x1、x2……x5一直加到50.0g，将测得的数据填入表1中。

（2）用逐差法求出弹簧的平均伸长量后求出K1和K2。将测得的6组数据分成前后两组，x0、x1、x2和x3、x4、x5，前后一一对应相减，求出每增加10.0g砝码时的平均伸长量,即

( )+(x4 x1)+(x3 x0)

Δx=x5x2

3×3

K1=

同理，求出K2 [数据处理]

mg

Δx

1．滑块质量M= ΔM= 2．计算弹簧的劲度系数K1、K2

表1 弹簧劲度系数的测定

砝码质量 （g） 标 尺 位 置

读 数

（K1） 读 数 （K2）

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

Δx1= Δx2= K1=

mg

= N

x1

K2= N

1．半衰期T和阻力系数 γ的测定：

T= ； ； ；

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T

=

ΔT= γ=

2MTln2= Δγ=

2．阻尼振动周期的测量：

T50= ； ； ；

T50= ΔT50=

平均阻尼周期T测=

T50= ΔT=ΔT50=

5050

3．计算阻尼振动周期的理论值： T理=

2π

K1+K2 γ

M4M2T理 T测

T理

2

4．比较T理和T测，则

×100%=

[思考题]

1．振动周期与阻尼振动的半衰期有何不同？

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