高等试题及数学公式

防灾科技学院

2008~ 2009学年 第二学期期末考试试卷

高等数学试卷（B ） 班级 财经类本科专业 答题时间120分钟

一、

填空题（本大题5小题，每题3分，共15分）

1、 曲面622=-yz x z y 在点

)3,2,1(处的法线方程为 ； 2、 曲线32,2,t z t y t x ===在点)1,2,1(处的法平面方程是 ; 3、 二次积分?

?-2

40

2

0),(y dx y x f dy 在极坐标系下先对r 积分的二次积分为

；

4、 =+∑

∞

=1

)

1(1n n n _________________;

5、 微分方程02=+dy x ydx 的通解是 。

二、 单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）

1、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，且有0),(),(0000==y x z y x z y x ，又记 2

)(xy yy xx z z z D -=，则函数),(y x f z =在点(,)x y 00处取得极小值的充分条件是（ ）；

A.D x y z x y xx (,),(,)000000>>

B.D x y z x y xx (,),(,)000000><

C.D x y z x y xx (,),(,)000000<>

D.D x y z x y xx (,),(,)000000<< 2、函数xyz u =在点)1,2,3(0M 处的梯度为（ ）；

A. 12

B. 6

C. {}6,3,2

D. {}1,2,3

3、幂级数∑

∞

=0

22

)

!()!2(n n

x

n n 的收敛半径为（ ）；

A.2

1=

R B.2

1=

R C.2=R D.2=R

4、级数n

n n

x

n 21

!

)1(∑

∞=- 在),(+∞-∞内的和函数=)(x f （ ）。

A. 2

x

e

-； B. 12

--x

e

； C. x

e

2- ； D. 12--x e

5、若),,(w v u f z =，f 具有一阶连续偏导数，),(y x u ?=的偏导数存在，

)(),(y F w x v ==ψ均为可导函数，则

=??x

z （ ）。

A. ///v x u f f +?

B. /

//

/

//F f f f w v x u ++ψ

?

C. /

///ψ?v x u f f + D. ////////F f f f f w v y u x u +++ψ??

三、（本大题共3小题，每题6分，共18分。）

1、已知)sin(xy e z y x +=，求

y

x z

x z

?????2

,

2、设),(v u f 具有连续的一阶偏导数，又),(y x xy f x

y z +=，求

y

z

x z ????,

3、已知函数),(y x z z =满足方程0sin 2)cos(=++-++x z xy z y x ，求

y

z

x z ????,

四

、

（本题8分。）

计算??=D xydxdy

I ,其中D 是由抛物线

y x =与直线2=+y x 与0=x 所围成的

平面区域。

五、（本题8分）

计算曲线积分?---=L

dy y x xy dx y xy I )2(3)6(2

232，其中L 是连接点（1，0）与点（1，2）的任意一条分段光滑连续曲线。

六、（本题8分）

计算曲线积分?=l xyzds I ，这里l 是空间的一段曲线：40cos sin π≤≤?????===t t z t

y t

x

七、 （本大

题1小题，12分）

设有幂级数∑

∞=++11414n n n x

1、 求该幂级数的收敛域

2、 求该幂级数的和函数).(x S

八、

（本大题共2

小题，每题8分，共16分）

1、求微分方程x y y

2sin 44//=+满足条件1)0()0(/==y y 的特解

2、 设函数)(x f 具有二阶连续导数，且有0)0(,1)0(='=f f ；如果对于xoy 平面上的任意一条分段光滑闭曲线L 都有：?='+'-L dy x f ydx x f 0)()](1[，求函数)(x f 。

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分： 2

2

2

2

122

11cos 12sin u

du dx x tg u u

u x u

u x +=

=+-=+=

，　，　，　

一些初等函数： 两个重要极限：

a

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x

x

ln 1)(log

ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2

2

=

'='?-='?='-='='2

2

22

11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x

arcctgx x

arctgx x

x x

x +-

='+=

'--='-='?

?????????+±+

=±+=+=+=

+-=?+=?+-==

+==C

a x x a

x dx C

shx chxdx C chx shxdx C

a

a

dx a

C x ctgxdx x C x dx tgx x C

ctgx xdx x

dx

C tgx xdx x dx

x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin

sec cos 2

2

2

2

2

2

2

2

C

a

x x

a dx

C

x a x a a

x a dx C a x a x a a x dx C a

x arctg a x a dx

C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C

x tgxdx

+=-+-+=

-++-=-+=++-=++=+=+-=?

???????arcsin ln

21ln 21

1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2

2

22

22

2

?

????++

-=

-+-+--=-+++++=+-=

==

-C

a x a

x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n

n

n arcsin

2

2

ln 2

2)ln(2

21cos sin

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

0π

π

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

2

sin

2

sin

2cos cos 2

cos 2

cos 2cos cos 2

sin

2

cos

2sin sin 2

cos 2

sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x

x arthx x x archx x x arshx e

e e e chx

shx thx e

e chx e

e shx x

x

x x x

x

x

x -+=

-+±=++=+-=

=+=-=----11ln 21)

1ln(1ln(:2:2:2

2）双曲正切双曲余弦双曲正弦...

590457182818284

.2)11(lim 1

sin lim

==+

=∞

→→e x

x x x

x x