3-3泰勒公式课件

泰勒公式

第三章

第三节 泰勒公式一、泰勒(Taylor)公式 二 、麦克劳林(Maclaurin)公式 三 、泰勒公式的应用

泰勒公式

一、问题的提出比较： e x与 x n

令 x 3.4

e

x

e 3.4 ?3.4 5 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4

x5

可看出： 幂函数 的优点问题： 对于某个 f ( x ), 能否用 x的多项式近似替代？

如果能，具体形式是什 么？

泰勒公式

y P ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )

条件1.设f ( x)在x0连续，则x x0

y

lim f ( x ) f ( x0 )

y f ( x)y P ( x ) f ( x0 )

f ( x ) f ( x0 ) ( lim 0)f ( x ) f ( x0 ) Cx x0

0

x0

.

x

条件2.设f ( x)在x0可导，则f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) o( x x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )

当 x0 0时，f ( x ) f ( 0) f ( 0) x

泰勒公式

对初等函数 f ( x ), 能否找到多项式：Pn ( x ) a 0 a1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n

目的： 使得 f ( x ) Pn ( x ) ?误差： Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x )

? o(( x x0 ) ) Rn ( x ) n

Rn ( x ) ? 即 lim 0 n x x0 ( x x ) 0

泰勒公式

一、泰勒(Taylor)公式1. 泰勒公式的建立

x 的一次 多项式

回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则

y

y f ( x)

f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) p1 ( x )(当 f ( x0 ) 0, 且 x x0 1时)

p1 ( x )O

x0 x以直代曲

x

[ f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]特点:

f ( x0 )

f ( x 0 )

泰勒公式

不足: 1° 精确度不高

只适用于 x x0 很小的x ,

当 x x0 不是很小时, 误差较大.2° 难以估计误差

只知道误差：R1 ( x ) o( x x0 )

不能具体估计出误差R1 ( x ) 的大小.

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需要解决的问题:1°寻找多项式pn ( x ),使得

f ( x ) pn ( x ),

且去掉对于 x x0 很小的限制.2° 给出误差：

Rn ( x ) f ( x ) pn ( x )的具体估计式.

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pn(x) 的确定:

pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n ,观察： f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ) 有

f ( x0 )

p1 ( x )

相交 相切

f ( x 0 )猜

pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数 越高，它们就有可能越接近？

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f ( x ) Pn ( x ) a 0 a1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n分析:近 似 程 度 越 来 越 好

1.若在 x0相交Pn ( x 0 ) f ( x 0 )

yy f ( x)

2.若有相同的切线Pn ( x 0 ) f ( x 0 )

3.若弯曲方向相同Pn ( x 0 ) f ( x 0 )

Pn ( x0 ) f

( n) ( n)

o

x0

x

( x0 )

泰勒公式

寻求n次近似多项式：

pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n ,要求:

求系数 ai :

a0 pn ( x0 ) f ( x0 ) , ( x 0 ) f ( x 0 ) , a1 pn

( x ) a1 2a

( x x ) n a ( x x )n 1 pn 2 0 n 0

泰勒公式

( x ) a1 2a2 ( x x0 ) n an ( x x0 )n 1 pn ( x ) 2 ! a2 n( n 1)an ( x x0 )n 2 pn 1 1 ( x0 ) f ( x0 ) , a2 pn 2! 2! ( n) pn ( x ) n ! an 1 ( n) 1 ( n) an pn ( x0 ) f ( x0 ), n! n! pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 要求: 1 1 ( n) 2 f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )( x x0 )n 2! n! f ( x )在 x0处的n阶泰勒多项式

泰勒公式

Rn(x) 的确定：2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.6 阶的导数, 则对

有

f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n!带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式

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3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式

定理3.7直到 n +1 阶的导数, 则对 x ( a , b ), 有 ( x0 ) f f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ), n! f ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1( 在 x0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1) !

带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式

泰勒公式

1 例1 求函数f ( x ) 按 ( x 1)的幂展开成带有 x 拉格日型余项的n阶泰勒公式.n 1 n ( 1 ) ( n 1)! ( 1 ) n ! ( n 1) ( n) 解 f ( x ) n 1 , f ( x) . n 2 x x

f ( 1) 1, ,

f ( 1) 1,f(n)

f ( 1) 2! ,

因此 f ( x ) 1 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1)n Rn ( x ),

( 1) n!.

其中Rn ( x )

( 1)n 1

n 2

( x 1)

n 1

, 在 1与 x之间.

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2 泰勒公式的特例 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理

f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为

( 在 x0 与 x 之间)

f ( ) ( x x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! ( 在 x0 与 x 之间)

df(3) 若在泰勒公式中 x0 0, 称为麦克劳林公式

泰勒公式

二、麦克劳林(Maclaurin)公式在泰勒公式中取 x0 0 , x ( 0 1) ,

便可得到麦克劳林( Maclaurin )公式： f (0) 2 f ( 0 ) f ( 0 ) x x 2!

f ( n ) ( 0) n x n! 由此得近似公式( n) f (0) 2 f ( 0) n f ( x ) f ( 0) f ( 0) x x x 2! n!