1.组合和组合数的公式

来源：网络收集时间：2026-09-28

导读：情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 2 3 A 6 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、

情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 2 3

A 6

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 3

问题1从已知的 3 个不同元素中每次取出2 个元素 , 按照一定的顺序排成一列.

问题2从已知的 3个不同元素中每次取出2 个元素 , 并成一组

有顺序

排列

组合

无顺序

概念讲解

组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

概念讲解排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.

概念理解思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

1)元素相同； 2)元素排列顺序相同.思考三:组合与排列有联系吗?

元素相同

构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有组合问题多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 排列问题

组合是选择的结果， (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? 组合问题排列是选择后再排序的结果.(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题

有多少种不同的火车票价？

组合问题

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.

b c d

c d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个)

概念讲解

组合数:

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数，用符号 C n 表示.注意： m Cn 是一个数，应该把它与“组合”区别开来. 如:从 a , b

, c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是: C 2 33

如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是：C4 6

练一练

1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d abc , abd , acd , bcd .

想一想：从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列又怎么表示哪？

组合abc abc acb abd adb acd adc

排列bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

abd acd

bcd

你发现了 bcd 什么?bdc

不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？

求 A 4可分两步考虑：第一步， C 4 ( 4)个；3

第二步， A3 ( 6)个；3

根据分步计数原理， A4

A 从而C A3 4

3 4 3 3

C A m 如何计算: Cn3 3 3 4 .

概念讲解

组合数公式

排列与组合是有区别的，但它们又有联系. 一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 Cn .m 第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数An .

A n n 1 n 2 n m 1 因此：C A m! * m、n N,且 m n 这里，这个公式叫做组合m n m n m m

m m m An Cn Am 根据分步计数原理，得到：

数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A C Am n m n

m m

组合数公式:

A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!m n m n m m

n! 0 C 我们规定：Cn 1. m!(n m)!m n

例题分析例1计算：⑴(1)35

4 7

⑵(2)120

7 10

(3) 已知

3 n

2 n

,求 n .n=8

例题分析

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛 (1)列出所有各场比赛的双方；解： (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

(2)列出所有冠亚军的可能情况.(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

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