2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.2.2(一)

2.2.2（一）

2.2.2

【学习要求】

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双曲线的简单几何性质(一)

1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念. 3.能区别椭圆与双曲线的性质. 【学法指导】 利用双曲线的方程研究其图象和几何性质，在自主探究合 作交流中通过类比椭圆的几何性质，分析双曲线的几何性质.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2（一）

1.双曲线的几何性质

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标准方 程

x2 y2 2－ 2＝ 1 a b (a>0，b>0)

y2 x2 2－ 2＝ 1 a b (a>0，b>0)

图形

填一填·知识要点、记下疑难点

范围 对称性 性 质 顶点 坐标 渐近线 离心率

2.2.2（一）

x≥a或x≤－a

对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点

y≥a或y≤－a

对称轴：坐标轴 对称中心： 原点

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A1(－a,0)， A2(a,0) b y＝ ± x a

A1(0，－a)，

A2(0，a) a y＝ ± x b

c e＝ a ，e∈ (1，＋∞)

2.等轴双曲线 实轴和虚轴 等长 的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线 是 y＝±x .

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探究点一 双曲线的几何性质

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x2 问题 1 类比椭圆的几何性质， 结合图象， 你能得到双曲线 2 a y2 － 2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？ b 答案 (1)范围：x≥a 或 x≤－a；

(2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的；

(3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(－a,0)，A2(a,0).

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问题 2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度， 在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特 征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？ x y 答案 如问题 1 中图，作直线 ± ＝1， a b x2 y2 在双曲线 2－ 2＝1 的各支向外延伸时，与两直线无限接近， a b

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把这两条直线叫做双曲线的渐近线； b c 双曲线的“张口”大小取决于 的值，设 e＝ ， a a b 则 ＝ e2－1. a b 当 e 的值逐渐增大时， 的值增大，双曲 a 动画演示

线的 “张口”逐渐增大.

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2.2.2（一）

例 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦

2 2 y x 解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程 2－ 2＝1. 4 3 由此可知，半实轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3；

点坐标、离心率、渐近线方程.

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c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5， 焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； c 5 4 离心率 e＝ ＝ ；渐近线方程为 y＝± x. 3 a 4

小结 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准 形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.

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2.2.2（一）

跟踪训练 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐 标、实轴长、虚轴长、离心