1.1 归纳与类比 课件3 (北师大选修2-2)

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北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》§1归纳与类比

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Ⅰ、教学目标 1.知识与技能：(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推 理的含义；(2)能利用归纳进行简单的推理；(3)体会并认 识归纳推理在数学发现中的作用. 2.方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法， 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性 命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 3.情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数 学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发 现事物之间的质的联系的良好品质， 善于发现问题，探求新知识。 Ⅱ、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 Ⅲ、教学方法：探析归纳，讲练结合 2 Ⅳ、教学过程

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一.引例：

2 1.当n=0,1,2,3,4,5时，计算n-n+11的值，根据所计算得 的值，你能得到什么结论？

n 0 1 2 3 4 5

n2-n+11

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2.矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和. 你能推出长方体有什么性质？ 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和. 3.所有的树都是植物， 梧桐是树. 你能得出什么结论？ 梧桐是植物.

上述3个案例的推理各有什么特点

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二.新课： 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.

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2.例题： 例1.前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟 是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物，

结论： 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.例2.前提：三角形的内角和是180 ,凸四边形的内角和 是360 ,凸五边形的内角和是540 ,……

结论： 凸n边形的内角和是(n-2)180 .

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2 2+1 2 2+2 2 2+3 例3.前提： < , < , < ,… 3 3+1 3 3+2 3 3+3

b b+m 结论： < (a、b、m均为正实数). a a+m以上三个推理有什么特征？由部分到整体、由特殊到一般.7

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哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著 名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除 的数)之和。 如6=3+3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler), 提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

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歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质

数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”3+7=10,3+17=20,13+17=30, 改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, , 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程：

…

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定义：从个别事实中推演出一般性的结论,像 这样的推理通常称为归纳推理

归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； 实验、观察 概括、推广 整

猜测一般性结论10

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an 例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 a n+1 = 1+an (n=1,2,3 ),试归纳出这个数列的通项公式.

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例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

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多面体

面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

4 5 5

4 5 6

6 8 9

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多面体

面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

4 5 5 6 6 8

4 5 6 6 8 6

6 8 9 10 12 12

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猜想 F+V-E=2多面体 面数(F)

欧拉公式棱数(E)

顶点数(V)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

4 5 5 6 6 8

4 5 6 6 8 6 10

6 8 9 10 12 12

7 79

15 151615

10 9

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小结： 归纳推理的特点：

(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结 论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.

(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实 还需经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明 的工具.

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的 猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和 16 提出问题.