13.2.2双曲线的几何性质

13.2.2双曲线的几何性质

复习1

椭圆的图像与性质x2 y2 2 1 2 a b (a b 0)

标准方程 范围 对称性 顶点 离心率

yB2 (0,b)(-a,0) A1 F1 (-c,0) (a,0) A2

a x a

b y b对称轴：坐标轴 对称中心：原点

o

(c,0) F2

x

A1,A2,B1,B20 e c 1 a

B1 (0,-b)

复习2 双曲线的标准方程

形式一： x 2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上，( 2 c,0))

形式二： y 2

x 2 1(a 0, b 0) 2 a b

2

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上，( F2 0,c))其中 c a b2 2 2

类比椭圆几何性质的研究方法，我 x y 们根据双曲线的标准方程 a b 1(a 0, b 0) 研究它的几何性质。2 2 2 2

课堂新授

一、研究双曲线

1、范围 2 2 x y 2 1 2 1 a b x2 a2 x a或x a 2、对称性

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b(-x,y)

的简单几何性质y

(x,y)-a o a (x,-y)

x

(-x,-y)

关于x轴、y轴和原点都对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。

3、顶点(1)令y=0,得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0),我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y 轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。

(2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长y

为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.B2

(3)实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线。

A1

o

A2

x

B1

4、渐近线从刚才的演示中发现，点M的横坐标越来越大， M到直线的距离越来越小，但永远不等于0.x2 y2 可以看出，双曲线 2 2 1 a b b 的各支向外延伸时，与直线 y x ay b B2 Q

M(x,y)

逐渐接近，我们把这两条直线 叫做双曲线的渐近线。

A1

o

A2a x

B1b y x ab y x a

双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 (1)定义： a 双曲线的 离心率。(2)e的范围：

c>a>0

e >1

思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ e是用来刻画双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大。

焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答双曲线标准方程：

双曲线性质：1.范围：

y2 x2 2 1 2 a b

y A2 B1 o A1 B2 x

y≥a或y≤-a

2.对称性： 关于坐标轴和原点对称 3.顶点： A1(0,-a),A2(0,a) A1A2为实轴，B1B2为虚轴

a 4.渐近线方程： y x cb e 1 5.离心率： a

例题讲解

例:

求双曲线 5x2 4 y2 20 的实半轴长,虚半轴长,

焦点坐标,离心率,渐近线方程。并画出它的近似图形。

x2 y2 解：把方

程化为标准方程 1 4 5 可得:实半轴长 a 2

虚半轴长 b 5半焦距 c 4 5 3 焦点坐标是(-3,0),(3,0) c 3 离心率: e a 2 5 渐近线方程: y x

2

巩固练习1.中心在原点，实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准 方程为( B ) x2 y2 y2 x2 x2 y2 1 A. B. 25 9 1 或 25 9 125 9

C.

x2 y2 1 100 64

D.

2.双曲线 A. C.

2 y x 3 3 y x 2

x2 y2 1 4 9

x2 y2 y2 x2 1或 1 100 64 100 644 y x 9 9 y x 4

的渐近线方程为( C )

B.D.

3.双曲线 mx2 y 2 1的虚轴长是实轴长的2倍，

则m的值为

1 4

小 结标准方程范围x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0)

y B2 A1 o B1 A2 x

x a或 x a对称轴：坐标轴 对称中心：原点

对称性顶点 渐近线 离心率

A1,A2b y x ac e 1 a