第5讲 插值与拟合方法

第五章 插值与拟合方法

一般插值方法； 样条函数与样条插值方法； 磨光法与B样条函数； 最小二乘拟合方法； 应用案例分析与应用练习.

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2013年10月24日

一、一般插值方法1.一般问题的提出实际中不知道函数 y f (x) 的具体表达式， 由实验 测量对于 x xi 有值 y yi (i 0,1,2, , n) ,寻求另一 函数 (x) 使满足： ( x i ) yi f ( xi ) 。此问题称为插值问题， 并称 (x ) 为 f (x) 的插值 函数； x 0 , x1 , x 2 , , x n 称为插值节点；

( x i ) yi (i 0,1,2, , n) 称 为 插 值 条 件 ， 即 ( x i ) yi f ( xi ) ,且 ( x) f ( x) 。4 2013年10月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式设函数 y f (x) 在 n 1 个相异点 x 0 , x1 , x 2 , , x n 上的值为 y 0 , y1 , y 2 , , y n ,要求一个次数≤n 的代数多 项式

Pn ( x) a0 a1 x a 2 x a n x 使在节点 x i 上成立 Pn ( x i ) yi (i 0,1,2, , n) , 称此为2 n

可以证明 n n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。 次代数插值是唯一的。5 2013年10月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式 n x x i 事实上: 可以得到 Pn ( x) y x x j j 0 i 0 j i (i j ) 当 n 1 时，有二点一次(线性)插值多项式：n

x x0 x x1 P1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0当 n =2 时，有三点二次(抛物线)插值多项式：

( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等。6 2013年10月24日

二、样条函数与样条插值1. 样条函数的概念定义:设给定区间 [a, b] 的一个分划 : a x0 x1 xn b , 如果函数 s (x ) 满足条件：1)在每个子区间 [ xi 1 , xi ](i 1,2, , n) 上是

k 次多项式；

2) s (x ) 及直到 k -1 阶的导数在 [a, b] 上连续。

则 称 s (x ) 是 关 于 分 划 △ 的 一 个 k 次 多 项 式 样 条 函 数 ，

x0 , x1 , , xn 称为样条节点， x1 , x2 , , xn 1 称为内节点， x0 , x n称为边界节点，全体记作 S P ( , k ) ,称为 k 次样条函数空间。7 2013年10月24日

1. 样条函数的概念若 s( x) S P ( , k ) , s (x ) 是关于△的 k 次多项式 则 样条函数。一般形式为：

j x j n 1 j sk ( x ) ( x x j )k j! j 0 j 1 k!k

( x x j ) k , x x j k 其中 ( x x j ) , j 和 j 均为任 0, x x j 意常数。8 2013年10月24日

1. 样条函数

的概念二次样条：对于 [a, b] 上的分划 : a x0 x1 xn b , 则

2 2 n 1 j 2 s2 ( x) 0 1 x x ( x x j ) S P ( ,2) 2! j 1 2! ( x x j ) 2 , x x j 2 其中 ( x x j ) 0, x x j 类似地有三次样条：

2 2 3 3 n 1 j s3 ( x) 0 1 x x x ( x x j )3 S P ( ,3) 2! 3! j 1 3!9 2013年10月24日

二、样条函数与样条插值2. 样条函数插值

(1)二次样条插值: 二次样条函数 s 2 ( x) 可分为 两类插值问题：1). 给 定 插 值 节 点 x i 和 相 应 的 函 数 值 yi (i 0,1,2, , n) ,以及端点 x 0 (或 x n )处的导数值 y ' 0 (或 y' n ),求 s 2 ( x) S P ( ,2) 使得

s 2 ( xi ) yi (i 0,1,2, , n) s 2 ' ( x0 ) y 0 ' (或s 2 ' ( x n ) y n ' )10 2013年10月24日

二、样条函数与样条插值2. 样条函数插值

(1)二次样条插值: 二次样条函数 s 2 ( x) 可分 为两类插值问题：2). 给 定 插 值 节 点 x i 和 相 应 的 导 数 值 y i (i 0,1,2, , n) ,以及端点 x 0 (或 x n )处的函数值

y 0 (或 y n ),求 s 2 ( x) S P ( ,2) 使得

s 2 ' ( xi ) y i ' (i 0,1,2, , n) s 2 ( x0 ) y 0 (或s 2 ( x n ) y n )11 2013年10月24日

(2) 三次样条插值确定三次样条 s3 ( x) 可有三类问题：1).求 s3 ( x) S P ( ,3) 使满足条件： 内点条件： s3 ( xi )

yi (i 1, 2, , n 1)y j , s3 ' ( x j ) y j ' ( j 0, n)

边界条件： s3 ( x j )

2).求 s3 ( x) S P ( ,3) 使满足条件： 内点条件： s3 ( xi )

yi (i 1, 2, , n 1)y j , s3 ' ' ( x j ) y j ' ' ( j 0, n)2013年10月24日

边界条件： s3 ( x j ) 12

(2) 三次样条插值3).求 s3 ( x) S P ( ,3) 使满足条件： 内点条件： s3 ( xi ) yi (i 1,2, , n 1)

s3 ( x0 ) y0 , s3 ( xn ) yn 边界条件： ( k ) s3 ( x0 0) s ( k3) ( x0 0)(k 0,1, 2)

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三、B样条函数插值1. 等距B样条函数对于任意 f (x) 定义步长为1的中心差分算子δ:

1 1 f ( x) f ( x ) f ( x ) , 2 2 1 0 1 0 0 则 x ( x ) ( x ) 是一个 2 2 0 单位方波函数，记 0 ( x) x ,

0 ( x)

o

-1/2 O 1/214 2013年10月24日

x

1. 等距B样条函数对 0 ( x) 进行磨光：

1 ( x)

1 2 1 x 2 x 1 x 2 1 x 2 x 1

1 ( x)1

0 (t )dt 1 0 1 0 t t dt 2 2 t dt 0 x x 1

-1

o

1

x

x

0 t dt ( x 1) 2 x ( x 1)

类似地可得:

C k 1 k ( x) (

1) x k! 2 j 0k 1 j j k 115

j

k

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1. 等距B样条函数可以证明：

k (x) 是分段 k 次多项式，且具有 k 1 阶连续导 数，其 k 阶导数的间断点为 k 1 xj j ( j 0,1,2, , k 1) , 2 则 k (x) 是对应于 : x0 x1 xk 1 的 k 次多项式样条函数。 称其为基本样条函数，简称为 k 次B样条。16 2013年10月24日