第二次、二重积分计算一

高等数学课件

第二节 重积分的计算 利用直角坐标系计算二重积分 举例 小结

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平行截面面积为已知的立体的体积 已知平行截面面积为 A(x)的立体 的立体

V =

∫

b

.

dV=A(x)dx

a

A ( x )d x

A(x)

a

x

V

b

x

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二重积分的计算 (D是矩形区域) 是矩形区域 是矩形区域 z

I=

∫∫D

f ( x , y )dxdy

z=f (x,y)

D是矩形区域 [a,b ; c,d] 是矩形区域 是矩形

0

c

y

dy

a

bx

D

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是矩形区域 二重积分的计算 (D是矩形区域 是矩形区域) z

z = f ( x, y) y= y

I=

∫∫D

f ( x , y )dxdy

z=f (x,y)

D是矩形区域 [a,b ; c,d] 是矩形区域 是矩形 Q( y ) =

∫

b

a

f ( x , y )d x

I

=

∫

d

c

Q ( y )d y0

c

y

dy

aQ( y ).

bx.

D

问题： 是什么图形？ 是曲边梯形。 问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。 是什么图形

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是矩形区域 二重积分的计算 (D是矩形区域 是矩形区域) z

I=

∫∫D

f ( x , y )dxdy

z=f (x,y)

D是矩形区域 [a,b ; c,d] 是矩形区域 是矩形 Q( y ) =

∫b

b

a

f ( x , y )d xd

I=

=

∫

c

Q ( y )d y0

c

y

dy

∫

d

c

d y ∫ f ( x , y )d xa

a

. .

b.

D

x

同理， 同理，也可以先对 y 积分

I =

∫

b

a

d x ∫ f ( x , y )d yc

d

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二重积分的计算(D是曲线梯形区域) 是曲线梯形区域) z

I=

∫∫ f ( x , y )dxdyD

z=f (x,y)

D: (y) ≤ x ≤ ψ(y) c≤y≤d0

c

yx= (y)

dy

Dx x=ψ(y)

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二重积分的计算(D是曲线梯形区域) 是曲线梯形区域) z

I=

∫∫D

z = f ( x, y) y= y .

f ( x , y )dxdy

z=f (x,y)

D: (y) ≤ x ≤ ψ(y) c≤y≤dQ( y ) =

∫

ψ( y ) φ ( y)d

f ( x , y )dx0

c

yx= (y)

dy

I = ∫c

Q ( y )d yQ( y ).

Dx x=ψ(y)

.

问题： 是什么图形？ 问题：Q( y)是什么图形？ 是什么图形

也是曲边梯形 !

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二重积分的计算(D是曲线梯形区域) 是曲线梯形区域) z

I=

∫∫D

f ( x , y )dxdy

z=f (x,y)

D: (y) ≤ x ≤ ψ(y) c≤y≤dψ( y ) φ( y)

Q( y ) =

∫

0

c

yx= (y)

dy

f ( x , y )dx

D..

x

x=ψ(y)

I = ∫c

d

Q ( y )d y =

∫

d

c

dy ∫

ψ( y ) φ ( y)

f ( x , y )d x

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直角坐标系下计算二重积分如果积分区域为： 如果积分区域为： a ≤ x ≤ b, [X-型] -y = 2 ( x )

1 ( x ) ≤ y ≤ 2 ( x ).y = 2 ( x )

Dy = 1 ( x)ab

Dy = 1 ( x )ab

上连续. 其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续

∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫a D

b

2 ( x)

1 ( x )

f ( x , y )dy .

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如果积分区域为： 如果积分区域为： c ≤ y ≤ d , 1 ( y ) ≤ x ≤ 2 ( y ). [Y-型] -d d

x = 1 ( y )

D

x = 2 ( y)

x = 1 ( y )

D

c

c

x = 2 ( y)

∫∫ f ( x , y )dσ = ∫D

d

c

dy ∫

2 ( y)

1 ( y )

f ( x , y )dx .

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X型区域的特点： 穿过区域且平行于 轴的直线 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界

相交不多于两个交点. 与区域边界相交不多于两个交点 积分次序： 积分次序：先Y后X。 后 。 Y型区域的特点：穿过区域且平行于 轴的直线 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. 与区域边界相交不多于两个交点 积分次序： 积分次序：先X后Y。 后 。 若区域如图， 则须进行分割. 若区域如图， 则须进行分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式D3D 1D2

∫∫D

= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .D1 D2 D3

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如果积分区域即是X-型又是 型的 如果积分区域即是 型又是Y-型的 ，则重积分既可以 型又是 转化为先对x后对 后对y的 也可以转化为先y后 的二次积分 的二次积分( 转化为先对 后对 的 ，也可以转化为先 后x的二次积分( 累次积分) 累次积分)

例1

改变积分 ∫ dx ∫0

1

1 x

0

f ( x , y )dy 的次序 的次序.

解： 积分区域如图原式 = ∫ dy ∫0 1 1 y

y = 1 x

0

f ( x , y )dx .

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例 2 改变积分

∫0 dx ∫0

1

2 x x2

f ( x , y )dy + ∫1 dx ∫0

2

2 x

f ( x , y )dy 的次序 的次序.

解：积分区域如图y = 2 x

y = 2x x2

原式 = ∫0 dy ∫1

1

2 y 1 y2

f ( x , y )dx .

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例 3 改变积分 ∫0 dx ∫ 的次序. 的次序

2a

2 ax 2 ax x 2

f ( x , y )dy (a > 0)

解：2a

y = 2ax

aa2a

y = 2ax x 2 x = a ± a 2 y 2a a a2 y2

原式 = ∫ dy ∫ 2 y 0

f ( x , y )dx2a 2a 2a

+ ∫0 dy ∫a +

a

2a

2aa y2 2

f ( x , y )dx + ∫a dy ∫ y 2 f ( x , y )dx .

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另： 将积分换 I = 序 解： D:y

∫

2a

0

dx ∫

2 ax 2 ax x2

f ( x , y )dy0 ≤ x ≤ 2a∴I =

2ax x 2 ≤ y ≤ 2ax

2ay = 2ax

∫∫D1

2a

∫∫D2

= ∫ dy ∫ y 2 f ( x , y )dx0 2aa+ a2 y2

2a

.

a

D1

∫ dy ∫0

a

a a2 y2

f ( x , y )d x

x = a a2 y2

D2

x = a + a2 y2

0

2a

x

注：这种方法要求 f (x, y) 在D2上有定义甚至连续. . .

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例 4 求 ∫∫ ( x + y )dxdy ,其中 D 是由抛物线2

所围平面闭区域. y = x 和 x = y 所围平面闭区域2 2

D

x = y2

解： 两曲线的交点

y = x (0,0) , (1,1), 2 x = y2

y = x2

( x + y )dxdy = ∫ dx ∫ 2 ( x 2 + y )dy ∫∫ 0 x21 x

D

1 33 4 = ∫ [ x ( x x ) + ( x x )]dx = . 0 2 1401 2 2