高等数学课件第九章_8极值与最值

第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值

第九章

二、最值应用问题三、条件极值

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一、 多元函数的极值定义: 若函数 的某邻域内有

则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. z 例如 : z z 在点 (0,0) 有极小值; O y x 在点 (0,0) 有极大值; O y y 在点 (0,0) 无极值. x O

x

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例1. 已知函数 则(

的某个邻域内连续, 且

A

)

(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.(2003 考研)

提示: 由题设

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定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有

存在

( x0 , y0 ) 0 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y证: 取得极值 , 故 取得极值

取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.

说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一定是极值点. 例如,

有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.目录 上页 下页 返回 结束

定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且

f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )

则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值2) 当 AC B 0 时, 没有极值.2

2

A<0 时取极大值;A>0 时取极小值.

3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.证明见 第九节(P121) .目录 上页 下页 返回 结束

我们把具有二阶连续偏导数的函数 z f ( x, y ) 的极值的 求法叙述如下： 第一步：解方程组 f x ( x, y ) 0 f y ( x, y ) 0 求得一切实数解，即即可求得一切驻点。 第二步：对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) ,求得二阶偏导数的 值A,B,C 第三步：定出 AC B 2 的符号，判断 f ( x0 , y0 )是不是 极值，是极大值还是极小值。

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例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数

的极值.

B

C

f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6

A

在点(1,0) 处

AC B 12 6 0 , A 0 ,2

为极小值;目录 上页 下页 返回 结束

在点(1,2) 处

AC B 2 12 ( 6) 0 ,在点( 3,0) 处

不是极值; 不是极值;

AC B 12 6 0 ,在点( 3,2) 处

2

AC B 12 ( 6) 0 , A 0 ,为极大值.

2

f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6

A

B

C目录 上页 下页 返回 结束

例3.讨论函数是否取得极值.

及

在点(0,0)

解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有

z在(0,0)点邻域内的取值

正可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.目录

O

x

y

当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0

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二、最值应用问题依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点

特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,

f ( P) 为极小值(大 )

f ( P) 为最小值(大 )目录 上页 下页 返回 结束

例4. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,

则水箱所用材料的面积为2 2 x y 2 x y

令

Ax 2( y Ay 2( x

2) 0 x2 2) 0 y2

得驻点 ( 3 2 , 3 2 )

根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2

高为 3 23

2 2

3 2 时, 水箱所用材料最省.目录 上页 下页 返回 结束

例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2

24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 π ) 2x

2

2

x24 2 x目录 上页 下页 返回 结束

24

A 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 π ) 2令

Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos 2 sin 2 ) 0

解得:

sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos 2 sin 2 ) 0 π 60 , x 8 (cm) 3

由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有

一个驻点, 故此点即为所求.目录 上页 下页 返回 结束

三、条件极值极值问题 无条件极值: 对自变量只有定义域限制

条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,

在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值转 化

从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)

求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题目录 上页 下页 返回 结束

方法2 拉格朗日乘数法. 例如,

在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值 .分析：如方法 1 所述, 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数

y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极值问题, 故极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记

x

fx

fy

y

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极值点必满足

f x x 0 f y y 0 ( x, y) 0

引入辅助函数 F f ( x, y ) ( x, y)

则极值点满足:

辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.目录 上页 下页 返回 结束