【数学】2.6 平面向量数量积的坐标表示 课件 (北师大必修4)

第二章 平面向量§2.6 平面向量数量积的坐标表示

复习：

⑴a与b的数量积的定义 ？已知两个非零向量a和b,它们的夹角 为 ,我们把数量|a|· |b|· cosθ叫做a与b 的数量积(或内积),记作a· b ,即 a· b=|a||b|cos (

2)向量的运算有几种?应怎样计算?

探索1: 已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2) ,平 面向量的 数量积怎样用a 与 b的坐标表示呢？设x轴上单位向量为i 请计算下列式子：

,Y轴上单位向量为j

① i i = ③ i j =

1 0

② j j = ④ j i =

1 0

例1:已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2) , 则平面向量的 数量积怎样用a 与 b的坐标表 示呢？

解:

a x1i y1 j , b x2i y2 j a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) 2 2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j

x1 x2 y1 y2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。

探索2:1)、若两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x 2, y2) 则a与b的 模应 如何计算？ a x1 y1 , b 2 2

x2 y2 .

2

2

如何计算？

2)、若设A(x1,y1),B(x2,y2),则向量AB的 模AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,

这就是A、B两点间的距离公式.

探索3: 你能写出向量夹角公式的坐标表示式已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2)

cos

x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 2

x2 y2

2

2

例2:设a=(2,1),b=(1,3),求a· b及a 与b的夹角解: a· b =2×1+1×3=5

2 ∵ cos 2 ab又∵00<θ<1800∴θ=450

a b

探索4:你能写出向量垂直的坐标表示式 已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2)

a // b x1y2 x2 y1 0

a b x1 x2 y1 y2 0

例3:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1< cos

a b ab

<0

∴λ∈(—

1 ,2)∪(2,+∞) 2

例4:已知A(1, 2),B(2,3),C(-2,5)试判 定△ABC的形状，并给出证明。

证明：

AB (2 1,3 2) (1,1)

BC ( 2 2,5 3) ( 4,2)AC ( 2 1,5 2) ( 3,3) AB AC 1 ( 3) 1 3 0∴ AB⊥AC 又∵ ︱AB︱ ≠ ︱AC︱

∴△ABC是直角三角形

小结: 已知两个非零向量a=(x 1, y1) , b=(x2 , y2) 1、 a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) x1 x2 y1 y2 2、 2 2 2 2 a x1 y1 , b x2 y2 .

3、 cos

x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 2

x2 y2

2

2

4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0

6、已知:A(x1,x2),B(x1,x2)则AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,

基础训练题1.有四个式子: 1 0 a 0, 2 0 a 0,

3 a b a c b c,

4 a b a b , 其中正确的个数为:A. 4个 B.3个 C. 2个

DD.1个

2. 已知a, b均为单位向量 , 下列结论正确的是 :

BD.a b 0

A.a b 1

B.a b

2

2

C.a平行b a b

3.设向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 有下列命题: 1 a x12 y12 ,

2 b

2

2 2 x2 y2 , 3 a b x1 x2 y1 y2 , 4 a b x1 x2 y1 y2 0

其中假命题序号是:(2)

4.若a 0,1 , b 1,1 且 a b a, 则实数 的值是A.-1 B.0 C.1 D.2

A

知识拓展给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共 线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方 向向量.

请同学们熟练掌握并能够灵活运用.