兰州大学09-10物理类高数(上)期末试题及答案

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兰州大学2009～2010学年第 一 学期

(C) f (1) f (0) f(1) f(0)

（D）f(1) f(0) f (1) f (0)

期末考试试卷（A卷）

sinx lim x asina 5. 极限 （A） 1

1

x a

的值是（ ）. （B） e

课程名称： 任课教师：

学院： 专业： 年级：

（C） e

cota

（D） e

tana

-------姓名： 校园卡号： ------线--------------------

----一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） ----(本大题有6小题, 每小题4分, 共24分) ----

-订-1. 当x 0时，下述哪个量是f(x) (1 cosx)ln(1 2x2

) 的同阶无穷小量( ). -----x-（A）x3； （B）x4； （C）x5； （D）2

----

--------2.

---- -sinx 2ax

1

----f(x) e

x 0

---装 x

ax 0在x 0处连续，则a =（ ）.

-----（A） 1

（B） 0 （C） e

(D) 1

-----

---------3. 设f(x)在点x a处可导，那么limf(a h) f(a 2h)h 0h

（ ）. -----（A） 3f (a)- （B） 2f (a)

----1

-----(C) f (a) （D） 3f (a)

-----

-----4. 设在[0，1]上f(x)二阶可导且f (x) 0，则（ ）

-----（A）f (0) f (1) f(1) f(0) (B) f (0) f(1) f(0) f (1)

6.设常数k

0，则级数 ( 1)n 1

ln(1n 1

( )

（A）绝对收敛（B） 条件收敛 （C）发散

（D）

敛散性与k有关

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

1. 设 x 1d(x2

arctanx 1) （ ）

2. 曲线 x=cost cos3t,y sin2

t cost对应t 4的点处的切线斜率为________

3. 求函数y 2x ln(4x)2

的单调递增区间为

4. 1

2

x3exdx __________

5.

dx

x 1 x 2

2

____________

6. 函数f(x) x2在 - ， 上的傅立叶系数a1 _______

x2

三、（10分） 计算 lim

tetsintdtx 0

x6ex

四、（10分） 求函数y xey 1的二阶导数y''

五、（8分）设a>0，函数f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，证明存在 a,b

使得

高等数学解答

f2 b f2 a lnb lna

2 f f'

1

2二、填空题 x

x七、（8分）

过抛物线y P（3，1）作切线，该切线与上述抛物线及x

， 0 1 4arctandx 2. 21 3. 1. ， 一、单项选择题 B D A B C B

六、（8分）

求定积分

面图形，求此平面图形绕轴旋转一周所成旋转体体积.

八、（8分）求级数 x 1 2n 1的收敛域及和函数n 1

n.

24. 12 5. 1x 1x 2 lnx 2 C 6. 4

x2

三、（10分） 计算 lim

0

tetsintdtx 0

x6e

x

x

2

解： lim

0

tetsintdt

x2ex2

sinx2 2xx 0x6ex=lim

x 06x5ex x6ex

lim2x51

x 06x5 x6

3

四、（10分） 求函数y xey 1的二阶导数y''

解： y' ey xey y' ， y'

ey1 xe

y

由此可知 y ey''1 xey

y+'

e2y 1+x1 xey

2 y ' y

2y =

2 xe e 1 xey

3

五、（8分）设a>0，函数f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，证明存在 a,b ，

2 使得

f b f2 a

lnb

lna

2 f f'

解： 令 F x f2

x ，G x lnx ，

则 F'

x 2f x f

'

x ，G' x

1

x

，

所以根据Cauchy中值定理，存在 a,b ，

使得

f2 b f2 a lnb lna

2 f f'

1dt 001 t

S t S 0 ln 1 t

t

S t dt

'

t

又因S 0 0

所以S t ln 1 t

六、（8分）

求定积分

11 x2

2

原级数 x 1 S

解：令x sint, 则

2 22

cottdt csct 1dt cott t 1 4 4 4

x 1

2

1 x ln 1 x 1

(1 x)ln 2x x2

七、（8分）

过抛物线y P（3，1）作切线，该切线与上述抛物线及x

绕x轴旋转一周所成旋转体体积. 解：切线方程为 y

抛物线与x轴的交点为B（2，0） 故所求旋转体的体积为V

2n 1

1

x 1 ，与x轴的交点为A（1，0）. 2

3

1

3 1

x 1dx x 2dx 226

2

八、（8分）求级数

n 12

x 1

n

的收敛域及和函数.

tn

解：令t x 1 ，S t ，易知其收敛域为 -1 t<1，

n 1n

因此原级数的收敛域为0<x<2 . S t

'

t

n 1

n 1

1

-1 t<1 1 t