【创新设计】高中数学人教版选修2-2配套练习：第一章 章末复习课

题型一 导数与曲线的切线

利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是

求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1

＝f′(x 1)和y 1＝f(x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．

例1 已知函数f(x)＝x －aln x(a ∈R)．

(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x

. (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，f′(x)＝1－2x

(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y －1＝－(x －1)，

即x ＋y －2＝0.

(2)由f′(x)＝1－a x ＝x －a x

，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a.

又当x ∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为

f(a)＝a －aln a ，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．

跟踪训练1 已知函数f(x)＝ax 2＋2ln(2－x)(a ∈R)，设曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为

l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14

相切，求a 的值． 解 依题意有：f(1)＝a ，f′(x)＝2ax ＋2x －2

(x<2)， ∴l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0，

∵l 与圆相切，∴

|2－a|4(a －1)2＋1＝12?a ＝118， ∴a 的值为118

. 题型二 导数与函数的单调性

求解函数y ＝f(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y ＝f(x)的定义域；

(2)求导数y′＝f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．

特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．