导数习题分类精选2013

高二数学导数单元练习和复习。

导数定义

x2x 1

例1．y f(x) 在x 1处可导，则a b ax bx 1 x2x 1

思路：y f(x) 在x 1处可导，必连续limf(x) 1 limf(x) a b

x 1x 1

ax bx 1

f(1) 1 ∴ a b 1

y ylim 2 lim a ∴ a 2 b 1 x 0 x x 0 x

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

f(a h2) f(a)f(a 3h) f(a h)（1）lim； （2）lim

h 0 h 02hh

分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。

f(a 3h) f(a h)f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)

lim

h 0h 02h2hf(a 3h) f(a)f(a) f(a h) lim limh 0h 02h2h3f(a 3h) f(a)1f(a h) f(a)

lim lim

h 0h 023h2 h31

f'(a) f'(a) 2b22

f(a h2) f(a) f(a h2) f(a)

（2）lim lim h 2h 0h 0hh

解：（1）lim

f(a h2) f(a) lim limh f'(a) 0 02h 0h 0h

nn 1

例3．观察(x) nx，(sinx) cosx，(cosx) sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶

函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

f(x x) f(x)

f (x)

x 0 x

f( x x) f( x)f(x x) f(x)

lim f ( x) lim

x 0 x 0 x x

f(x x) f(x)

f (x) lim

x 0

解：若f(x)为偶函数 f( x) f(x) 令lim

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：f [f( x)] f ( x) ( x) f (x)

例4.已知函数f(x)在定义域R上可导，设点P是函数y f(x)的图象上距离原点O最近的点.

'

(1) 若点P的坐标为(a,f(a)), 求证：a f(a)f(a) 0;

(2) 若函数y f(x)的图象不通过坐标原点O, 证明直线OP与函数y f(x)的图象上点P处切线垂直. 证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x )

已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点，

∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值

∴ F'(a)=0， 即 2a+2f (a)f ' (a)=0 (2) 线段OP的斜率为

f(a)

，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f ' (a) a

由(1)知f (a)f '(a) = – a，

高二数学导数单元练习和复习。

∴图象不过原点，∴a 0，∴

f(a)

f '(a) = –1 a

∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.

利用导数证明不等式

例6．求证下列不等式

x2x2

（1）x x (0, )（相减） ln(1 x) x

22(1 x)2x

（2）sinx x (0,)（相除）

2

（3）x sinx tanx x x (0,)

2x21x2 1) f(0) 0 f (x) 1 x 0 证：（1）f(x) ln(1 x) (x 21 xx 1

∴ y f(x)为(0, )上 ∴ x (0, ) f(x) 0 恒成立

x2x2

∴ ln(1 x) x g(x) x ln(1 x) g(0) 0

22(1 x)

4x2 4x 2x212x2

g (x) 1 0

1 x4(1 x2)4(1 x)2

x2

∴ g(x)在(0, )上 ∴ x (0, ) x ln(1 x) 0恒成立

2(1 x)

sinx2

令 f(x) sinx/x x (0,) cosx 0 x tanx 0 （2）原式 x 2

cosx(x tanx)

x (0,)f(x) 0∴ f (x) ∴ (0,) 2

2x2

22x f() ∴ sinx

2

（3）令f(x) tanx 2x sinx f(0) 0

(1 cosx)(cosx sin2x)

f (x) secx 2 cosx 2

cosx

x (0,) f (x) 0 ∴ (0,)

22

∴ tanx x x sinx

2

例7.（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

a b

(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(2)<(b-a)ln2.

f'(x)

．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),

1 1''

1 x，令f(x) 0，解得x=0，当-1<x<0时,f(x) 0,当x>0

'f时,(x) 0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0

a ba b2a2b

g(a) g(b) 2g() alna blnb (a b)ln aln bln

22a ba b.

(II)证法一：

b aa b

0, 1 0

ln(1 x) x 0(x 1,且x 0)2a2b

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0 g(a) g(b) 2g(

) (b a)ln22

F(x) g(a) g(x) 2g(

a x

)2，

综上

'

g(x) xlnxg(II)证法二：，(x) lnx 1，设

F'(x) g'(x) 2[g(

则

a x'a x

)] lnx ln'22，当0<x<a时F(x) 0，因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时

F'(x) 0，因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即a b

0 g(a) g(b) g()

2

a x

G'(x) lnx ln ln2 lnx ln(a x)'

G(x) F(x) (x a)ln2G2设,则当x>0时,(x) 0,因此G(x)在

a b

g(a) g(b) 2g() (b a)ln2

2(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即

x. 1 x)，h(x) 例8.已知函数f(x) x，g(x) ln(

1 x

（1）证明：当x 0时，恒有f(x) g(x);

（2）当x 0时，不等式g(x)

kx

(k 0)恒成立，求实数k的取值范围; k x

1x

， 1 x1 x

'

解：（1）设F(x) f(x) g(x)，则F(x)=1

'

当x 0时，F(x) 0，所以函数F(x)在（0， )单调递增，又F(x)

在x 0处连续，所以F(x) F(0) 0，即f(x) g(x) 0， 所以f(x) g(x)。 （2）设G(x) g(x)

kx

， k x

k2

则G(x)在（0， )恒大于0，G(x) ln(1 x) k ，

k x

1k2x2 (2k k2)x

G'(x) ， 22

1 x(k x)(1 x)(k x)x2 (2k k2)x 0的根为0和k2 2k,

即在区间（0， )上，G'(x) 0的根为0和k 2k,

2

若k 2k 0，则G(x)在(0,k 2k)单调递减，

2

2

高二数学导数单元练习和复习。

且G(0) 0，与G(x)在（0， ) 恒大于0矛盾； 若k 2k 0，G(x)在（0， )单调递增，

2

且G(0) 0，满足题设条件，所以k 2k 0，所以0 k 2.。

2

1x 11 ln ； x 1xx11111

（2）已知：n N且n 2，求证： lnn 1 。

23n2n 1

111

（1）令1 t，由x>0，∴t>1，x 原不等式等价于1 lnt t 1

xt 1t

例9.（1）已知：x (0 )，求证令f(t)=t-1-lnt，

∵f (t) 1 当t (1, )时，有f (t) 0，∴函数f(t)在t (1, )递增 ∴f(t)>f(1)

即t-1<lnt

1t

另令g(t) lnt 1 ，则有g (t)

1tt 1

0 t2

1t

∴g(t)在(1, )上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt 1 综上得

1x 11 ln x 1xx

（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得

11123n11 ln ln ln 1 23n12n 12n 1

11111即得 ln 1

23n2n 1

利用导数求和

例10．利用导数求和：（1）（2）

。

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