线性代数 矩阵 第2节 矩阵的运算(2014)超好学

第二节

矩阵的运算

矩阵的线性运算一、矩阵的加法1、定义设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B,规定为

a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1

a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2

a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn

说明 只有当两个矩阵同型，才能进行加法运算.

例如

12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 3 2 1 6 8

12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 3 3 6 2 6 8 1 8 9 2 1 1 例如，A 与B 不能相加. 1 1 1

2、 矩阵加法的运算规律

1 A B B A; 交换律 2 A B C A B C . 结合律 a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , A的负矩阵 a mn

4 A A 0, A B A B . 矩阵的差0矩阵

负矩阵：

A ( aij )

A ( A) O减法： A B A ( B) (对应元素相减)

A B A B O

二、数与矩阵相乘 1、定义 数k与矩阵A的乘积记作kA或 Ak ,规定为 ka11 ka21 kA Ak ka m1 ka12 ka22 kam1 ka1n ka2 n . kamn

回忆行列式与数k相乘=?

A ( 1) A ( aij )m n

负矩阵

2、数乘矩阵的运算规律 (设 A、B为 m n 矩阵， , 为数)

1 A A ; 2 A A A;

3 A B A B;(4) 1A A,

oA O

(5)kA=O → A= O / k=0

加与数乘合起来统称为矩阵的线性运算.

矩阵乘法引例：某地有I1、I2 两个工厂生产甲，乙，丙三种产品。

矩阵 A 表示一年中各工厂生产每种产品的数量，矩阵 B 表示每种产品的单位价格及单位利润，矩阵 C 表示各工厂的总收入和总利润。

a11 A a 21

a12 a 22

a13 1 a 23 2

甲

乙

丙

b11 B b21 b 31 单位

b12 甲 b22 乙 b32 丙

c11 c12 1 C c c 21 22 2 总收入 总利润

单位 价格 利润

显然

cij ai1b1 j ai 2b2 j ai3b3 j

(i, j 1,2)c12 c 22

a11b11 a12 b21 a13 b31 a b a b a b 22 21 23 31 21 11

a11b12 a12 b22 a13 b32 c11 a 21b12 a 22 b22 a 23 b32 c 21

定

义:

A aij m s 、 B bij

s n

规定: A 与 B 的乘积是一个 m n 阵 C (cij ) m n

cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkjk 1 s

i 1, , m; j 1, , n把此乘积记作 C AB .

注意

只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵

的行数时，乘积才有意义. 例如

1 2 3 1 6 8 不存在. 3 2 1 5 8 9 6 0 1 3 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 10 . 1

矩阵乘法就是在大量类似的应用中产生的。在 计算机图形学中，矩阵乘法有着非常广泛的应用。

演示实验2有一种基本几何变换为旋转变换：旋转：对象绕着坐标原点旋转。 逆时针为正，顺时针为负。x r cos y r sin x' r cos( ) y ' r sin( )p' ( x' , y ' )

y

r

r

p ( x, y )

x

r cos( ) r (cos cos sin sin ) x cos y sin r sin( ) r (sin cos cos sin ) x sin y cos

yp' ( x' , y ' )

x' x cos y sin y' x sin y cos

r

r

p ( x, y )

x

矩阵方便绘图，如何将其表成矩阵形式？ 利用矩阵乘法：

x' cos y' sin

sin x cos y