高等数学试题库

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《高等数学》期末试卷

一、选择题（21分）

1． 曲面x2 2y2 3z2 12上，点(1, 2,1)处的切平面方程是（ ）

A、2x 8y 6z 24 B、x 4y 3z 12 C、x 4y 3z 12 D、x 2y 3z 12 2． 设 cos(x y) cos(x y)，下列各式哪些正确？（ ）

2 2 2 2 2 2Ⅰ x2= y2 Ⅱ x2= x y Ⅲ y2= y x

A、Ⅰ正确；B、只有Ⅱ正确；C、Ⅰ与Ⅲ都正确； D、Ⅰ与Ⅱ都正确；E、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都正确。

3．由方程F(y,z

)=0确定隐函数z z(x,y)，（F为可微函数）求x zxx x y z y

A、 z B、z C、 x D、x 4．

cosn

（ ） n 2n lnn

A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、可收敛也可能发散

5． 1

xx20[1 1!

2! xn

n!

]dx=（ ） A、1； B、e； C、e2

； D、e 1

6．求D是由两坐标轴和直线x y 1所围成的三角形区域求

xydv=（ ）

D

A、

12； B、16； C、11

8； D、12

7．设函数z f(x,y)在点(x,y)不连续，则在点(x,y)处 （ ） A、偏导数一定不存在 B、全微分一定不存在 C、至少有一个方向的方向导数不存在 D、以上说法都不对 二、填空题（15分） 1． 交换积分次序

12

2x x2

dx

f(x,y)dy 1

dx

f(x,y)dy 2． 设可微函数w f(x y,y z,t z)则

w x w y w z w t

） （

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3． 设由e

xy

2z ez 0确定z f(x,y)则dz4． 设D (x,y):x2 y2 1，则由估值不等式得 5、把函数

(x

D

2

4y2 1)d 。

11

展开成x的幂级数得到：

1 x1 x

三、计算题（54分）

1．已知yz zx xy 1，确定的z z(x,y)，求dz。

2．抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一个椭圆，求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离。

3．线积分ydx x2dy其中L是抛物线y x2上从点A( 1,1)到点B(1,1)，再沿直线到

L

点C(0,2)所构成的曲线。

2

4． 若L是抛物线y x上0 x

1

的弧段，求 (x 1)ds

L2

5、计算

2222

，其中D:x y 3。 (x y)dxdy

D

6、求方程满足初始条件的特解：

dy2sinx

y ,y|x 1 dxxx

xn

四．（5分）求级数 的收敛域，并求出它的和函数。

n 1n

五．（5分）设f(x)可微，f(o) 0，又设曲线积分

无关，确定函数f(x)。

(x,y)

(0,0)

xy

f(x)dx f(x)dy与路径

1 x2

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案

2222

一、1、当0 a 1时，0 x y 1；当a 1时，x y 1；

2、负号； 3、

d

D

10

dy

e 1 ye

y

dx;

； 4、 2(t) 2(t)dt；

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5、180 ； 6、sin

y

Cx； x

2x

7、y C1cos2x C2sin2x C3e

C4e

2x

； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、

u u f1 yf2 ； xg (x xy)； x y

u u f(x t) f(x t)； f(x t) f(x t)； x t222y21 y2 y2 y2 4

四、1、 dx edy dy edx yedy (1 e)；

0x0002

2、2、I

柱面坐标

2 0

d

20

dr r3dz

1

22 0

d dr 12r3dz

2r

22

14

； 3

yx

五、令P 2,Q

x y2x2 y2

Py2 x2 Q

则，(x,y) (0,0)； 2 22

y(x y) x

P Q

,在D内连续。所以由Green y x

P Q,在D内除O（0， y x

*

于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）公式得：I=0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，

0）外都连续，此时作曲线l为x y (0 1)，逆时针方向，并假设D为

222

L 及l 所围成区域，则

I L

l

l

L l

Green公式 (

l

D*

Q P

)dxdy 2 x yx2 y2 2

六、由所给条件易得： f(0)

2f(0)

f(0) 0 2

1 f(0)

f(x) f( x)

f(x)

1 f(x)f( x)f(x x) f(x)

又f (x) lim =lim

x 0 x 0 x x

1 f2(x)f( x) f(0)2

lim f (0)[1 f(x)]

x 01 f(x)f( x) x

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即

f (x)

f (0) 2

1 f(x)

fn(x) f (0) x c即 f(x) tan[f (0)x c] arcta

又 f(0) 0 即c k ,k Z f(x) tanf( (0)x)

t2n 3

2n 1

nt t2 七、令x 2 t，考虑级数 ( 1) limn t2n 12n 1n 1

2n 1

当t2 1即t 1时，亦即1 x 3时所给级数绝对收敛；

当t 1即x 3或x 1时，原级数发散；

当t 1即x 1时，级数

( 1)n 1

n 1

1

收敛； 2n 1

当t 1即x 3时，级数

( 1)n

n 1

1

收敛； 2n 1

级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案

一、1、1； 2、-1/6； 3、

20

dy

yy/2

f(x,y)dx dy

2

42y/2

f(x,y)dx ； 4、

2

f (0)； 3

5、 8 ； 6、2(x y z)； 7、y y 2y 0； 8、0； 二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数u ln(x

y2 z2)在点A（1，0，1）处可微，且

u x u y u z

A

1x y z

1x y z

1x y z

2

2

2

2

2

2

(1,0,1)

1/2；

A

yy zzy z

2

2

(1,0,1)

2

2

(1,0,1)

0；

A

1/2

221 而 (2, 2,1),所以 (, ,),故在A点沿 方向导数为：

333

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u l

A

u x

A

cos +

u y

A

cos +

u z

A

cos

12211

0 ( ) 1/2. 23323

fx 2xy(4 x y) xy( 1) 0

2、由 得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1) 4， 2

f x(4 x 2y) 0 y

又f(0,y) 0,f(x,0) 0

而当x y 6,x 0,y 0时，f(x,y) 2x3 12x2 令(2x3 12x2 0得x1 0,x2 4

于是相应y1 6,y2 2且f(0,6) 0,f(4,2) 64.

f(x,y)在D上的最大值为f(2,1) 4，最小值为f(4,2) 64.

(0 x 6)

0 x 1

四、1、 的联立不等式组为 : 0 y x 1

0 z 1 x y

所以I

dx

11 x0

dy

1 x y0

1 xdz1111

dx[ 0(1 x y)24]dy (1 x y z)32 0

1113 x15

)dx ln2 (

20x 14216

2、在柱面坐标系中

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