方波信号f(t)展开为傅里叶级数

方波信号f(t)展开为傅里叶级数例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。f (t) 1

-T

T 2

0 -1

T 2

T

2T

t

图4.2 方波信号的傅里叶级数

解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数, 并按式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分别计算an, bn 及c 。2 an T 2 T

T 2 T 2 0 T 2

f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T0 T 2

T 2

0

1 cos(2 nft )dtT 2 0

2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0

2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf

2 T bn 2T f (t )sin(2 nft )dt T 2 2 0 2 T T ( 1)sin(2 nft )dt 2 1 sin(2 nft )dt T 2 T 0 2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nft 2 (1 n ) n 0 T 2

2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nf

T 2 0

0, 4 n

n 2,4,6, n 1,3,5,

2 T c 2T f (t )dt 0 T 2 1 1 1 f (t ) [sin 2 ft sin 6 ft sin10 f sin 2 ft ] 3 5 n n 1,3,5, 4

振幅谱和相位谱例题例 3.3-1

f (t ) 1 3 cos( t 10 ) 2 cos(2 t 20 ) 0.4 cos(3 t 45 ) 0.8 cos(6 t 30 ),

试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解 f(t)为周期信号，题中所给的 f(t)表达式可视为 f(t) 的傅里

叶级数展开式。据

A0 f (t ) An cos(n t n ) 2 n 1可知，其基波频率Ω=π(rad/s),基本周期T=2 s,ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有

A0 1 2

1 0 1 10 2 20

A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8其余

3 45 6 30

0 A n

An 3

3

2

2

1 0 .4 o

0 .8

2

3 (a )

4

5

6

4 5°

n

4 5°

3 0°

3 0° 2 0° 1 0°

1 5°

图 3.3-1 例 3.3-13 (b )

o

2

4

5

6

(a) 振幅谱； (b) 相位谱

|Fn | 2 1 .5 1 0 .4 1 1 .5 1 0 .44 5 6

0 .2 2

0 .23

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - o (a )

4 5° 3 0° 1 5° - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - o -1 0° -2 0° -3 0° -4 5° (b )

n

4 5° 3 0° 2 0° 1 0°

2

3

4

5

6

-1 5° -3 0° -4 5°

图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 (a) 振幅谱； (b) 相位谱

单边指数函数f(t)的频谱函数 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。 at e f (t ) 0

t 0 t 0

( 0) 1 F( )

f (t ) 1 e- t ( >0 )

o (a )

t

o (b )

图 3.4-2 单边指数函数e-αt (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱

解

F ( j ) f (t )e

j t

dt e t e j t dt 0

e ( j )

( j ) t

1 1 e 2 j a 2

j arctan

a

其振幅频谱及相位频谱分别为

F ( )

1

2 2

( ) arctan

单边指数信号的频谱例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指f (t ) e at u(t ), a 0 F ( )

(4―40)

f ( t )e

j t

dt

e

at

e

j t

dt(4―41)

1 j

0

F ( )

1

1

2

arg F( ) 2 4

- - 0 (a )

- 4

0 - (b ) 2

图4.7 单边指数信号及其频谱

偶对称双边指数函数的频谱函数例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。

f (t) 1 e t o (a ) e- t >0 ) t

2

F(j )

o (b )

图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱

偶对称双边指数信号的频谱例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指

f (t ) eF ( ) 0

t

u(t ), 0e at

(4―42)

从频谱函数的定义式出发

e e

at

j t

dt

0

e

j t

1 1 dt j j (4―43)

2 2 2

f (t) 1

F ( )

2

1

0 (a )

t

-

0 (b )

图4.8 双边指数信号及其频谱