平面向量数量积的物理背景及其含义2 PPT课件

平面向量数量积的物 理背景及其含义

一、向量数量积的物理背景在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生位 移 S ,那么力 F 所做的功W F S cos F S

我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。W F S cos

a b | a | | b | cos

二、向量 a b 与 的数量积的概念已知两个非零向量a

与

b

,它们

的夹角为θ,则我们把数量| a | | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积(或

内积),记作：

a

.b

a b | a | | b | cos 规定：零向量和任一向量的数量积为0

向量的数量积是一个数量，不是一个 向量，那么它什么时候为正，什么时候 为负？a · =| a| |b | b

cosθ

当0°≤θ < 90°时 a · 为正； b 当90°<θ ≤180°时a · 为负。 b 当θ =90°时 a · 为零。 b

例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a·b。解：a· = |a| |b|cosθ b=5×4×cos120°

=5×4×(-1/2)= -10

几何意义作 OA a , b OB

,过点B作

BB

1

垂直于直线OA,垂足为 B 1,则 OB 1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. B B B b b b

O

a

B1

A

B1

O

a A

O( B 1 ) a θ为直角时，| b | cosθ=0

A

θ为锐角时， | b | cosθ>0

θ为钝角时，| b | cosθ<0

数量积 a · 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方 b 向上的投影| b |cos 的乘积.

e 设 a、b 是非零向量， 是与b 方向相同的 单位向量， 是a与e 的夹角，则 (1)e a a e | a | cos a b | a | | b | c o s bB

O

θ

B1 a

A

(3)当a与b 同向时，a b | a || b |; 当a与b 反向时，a b | a || b |; 2 a a a

(2)a b a b 0

特别地

a b (4) cos | a || b |

2 a a | a | 或 | a |

(5) | a b | | a || b |

四.数学运用 例1: 已知向量a 与 b的夹角为

, 2, b 3, aa b

分别在下列条件下求

( 1 ) 135

0

(2 )a ∥ b

3 a

b0

解：( 1) b a b cos 2 3 cos 135 a ( 2 )当 a b时，则 0 或 1800 0

3 2

若 0 , b a b 6 a0

若 180 , b a b 6 a0

( 3 )当 a b时， b 0 a

注意： 数量积:

a · =| a || b |cos b

“· ”不能省略不写，也不能写为“×”,数学中“ a × b” 表示两个向量的向量积(或外积) a · b表示数量而不表示向量，与实数a · b不 同, a+b 、 a-b表 示向量； (3)在实数中，若a 0,且a b=0,则b=0;但是在数量积中， 若a 0,且a b=0,不能推出b=0.因

为其中cos 有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(b 0),则ab=bc a=c.但是a b = b c不 能得到 a=c(5)在实数中，有(a b)c = a(b c),但是(a b)c a(b c)

练习

判断下列说法是否正确b, 有 a b 0 b, 有 a b 0

1) 若 a 0 , 则对任一向量

(√)(× ) (× ) (× ) (√) (√)

2 ) 若 a 0 , 则对任一非零向量 3)若 a 0 , a b 0 , 则 b 0

4 ) 若 a b 0 , 则 a , b至少有一个为零向量

5 )若 a b a b , 则 a ∥ b6 )若 a b a b , 则

a∥b

二、平面向量的数量积的运算律：

数量积的运算律：

(1)a b b a (2)( a ) b ( a b ) a ( b ) (3)( a b ) c a c b c 其中， 、b 、c 是任意三个向量， R a 注： (a b ) c a (b c )

证明运算律(3)

向量a、b、a + b b在c上的射影的数 量分别是OM、MN、 a a+b 则 ON, N c O M (a + b) · = ON |c| c = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· + b· . c c

例 3:求证： (1)(a+b)2=a2+2a· 2; b+b (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.证明：(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· 2. b+b

例4、

已 知 | a | 6 ,| b | 4 , a 与 b 的夹角为 60 ,o

求(a 2b ) (a 3b ) 。

解:

例5. 已知 | a | 3,| b | 4, 当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？