抛物线的一个有趣性质的引申及应用

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中学数学杂志(中) 20年第 5高 05期

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抛物线的一个有趣性质的引申及应用广东省佛山市南海区石门中学 58 4 22 8黄伟亮

《中学数学杂志)0 5 2 0年第 2新发现期《圆锥曲线的一个性质》一文(下称文[]中， 1) 姜坤崇老师给出了抛物线的一个有趣性质.本文对文[] 1的性质给予引申并提出过抛物线上一点的切线的一个新作法 .为方便起见，先摘录文[] 1的性质 . 性质 1 给定抛物线 C:=2 x… y p

2 y+2 a= 0于是 l 2= p p,+而 kp+k o= o o.

, i 2= YY+

+2 2 = Y p。

2 p=

:

~ Y Y2 i

=— 4于。∞为定值~由 _是尸+是一一 1 1T一 - -一+… 一一 1 I爿 n ,

K,以= K,所于是 n= 2, 1K,

所以直线 _ P Q

( P> 0,是顶点， y轴上一点 M (, )0过 0 )≠ 0 ( )引直线交 C于 P、两点， Q记是，o ko分别为直线 O O t P、 C的斜率，是则,‘’

与 y轴相交于点M (, ) 0 .评注引申 1实际上是文[] 1性质 1的逆定理 . 引申2给定抛物线 C:=2 x p> p(

+是为定值 .∞1该性质的几个引申 引申 1给定抛物线 C::2 x y p (> 0,是顶点， Q为抛物线上两点， )O P、

0, ) 0是顶点， y轴上一点M (, )≠过 O ( 0引抛物线的切线， )切点为 P,是为直线记 O P的斜率，是P= .则。 证明 当 P、两点重合的时候， Q由文[] 1性质 1有志= (+kQ= , 是 o) :.

记是 ko分别为直线 O O t,o P、 C的斜率.若是+ko o为定值K( K≠0, )则直线 P Q必与,’

Y轴相交于点 M(, ) O .』、

证明如图 1,设 P( Y ) x,, Q( 2Y )则 Y x,2,=

2x,; p 2因 p lY=2x .为 ke+ko为定值 o oK且K≠0所以直线， P的斜率存在， Q不妨设斜率为 k设直 .

评注引申2实际上是文[] 1性质 1中 P Q两点重合的特殊情形.、一

0

一

引申 3给定抛物线 C:=2 x y p

( P> 0

,是顶点， y轴上一点 M (, )0过 O )≠ 0作直线 MP交抛物线于点P, ( )记图1

是为直线MP的斜率， 则直线 MP为抛物线

线 P与轴相交于点M (, )则直线 P Q 0n, Q的方程为r= 2 x Y p

的切线甘是=去是 .证明 直线 MP的方程为 y一 =

=

.由方程组

是由程 j 2,去知 ,组方=p消未数 xk一 7— y H R z啪P

1:消未得方一 x得到方程是 X知到程 去

一2 y+2 m=0其判别 p p,

式 A= ( p 2一2 )—4 2 r)是 (p . o

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( ) 由于直线△= ( )一4 一2 =

与抛物线相切，以所 2 r ), (p=0解得 o

①若点 P是抛物线顶点，则切线就是 Y轴；

,

而由引申 2可知 kp o

,所以

②若点 P不是抛物线顶点，如图 2 .l

=

( ) 直线 O P的方程为y=ke , o 因

( ) P作直线 1过 P垂直于 z轴且交 A轴子点A;( )取线段 P 2 A

M

曰

/ f

为ke尸所以直线 0的方程可化为 m=告 D, P l:

D. A‘\。、\~

2

. z.由方程

一,

惫,

的中点 B;解

图2

() B点作直线 B垂直于Y轴且交 3过 M轴子点 M; () 4连接 P, P是过点 P的切线 . M则 M证明= = ,

L Y

Zl e Mp

z

得一’点P坐为， z{是所以的标 ( 2 ) . 1一 K^ P棚

f —L

1l’ 7

由于点 P在抛物线Y=2 x上， 1( m) p所)2 A=

由作法可知 l A l 2l B l = = P ,l P MB l

2 p

,解得 k v= M

,于是△= ( 一,‘,

,^ P‘《

l Al , O所以

=告 0, P由引申3可知直

2 ) 4 p一 抛物线相切 .

2 r), (p=0从而直线 MP与 o

线 MP为抛物线的切线.参考文献[]姜坤崇. 1新发现圆锥曲线的一个性质[] J.中学数学杂志，0 5 2 . 20()

2过抛物线 Y =2 z(>0上一点 P的 p )切线的一种作法

抓住“对称"

探讨思路，——一

道求直线斜率范围问题的不同解法2 70 500禚鹏

胜利油田第七中学

曲阜市王庄乡学校圆锥曲线中，关于直线对称问题，主要考查学生对所学知识的综合运用能力，由于此类问题中的直线(曲线 )在动，曲线上关于直线的对称点也在动，且解题过程中一般要涉及两个或多个参数，学生在解答时，往往抓

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张忠华

归纳出几种不同解法，以供参考 . 已知抛物线 C:= 2一 1及定点 y x A(, )试问是否存在过 A点的直线l使得 20,,能在抛物线上找到不同的两点关于直线 l对

称？如果存在，请求出直线 l的斜率的范围；不存在，请说明理由. 解法 l设直线 l 的方程为y= k一 (

不住主要矛盾，对合理运用动静条件感到无从下手或解题思路混乱，因此本文就此问题