5-2微积分基本定理

一、积分上限函数及其导数问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动， 设某物体作直线运动，已知速度 v = v (t )是时 的一个连续函数， 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) ≥ 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程 求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为

∫T

T21

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

∴ ∫ v ( t )dt = s(T2 ) s(T1 ). 其中 s′( t ) = v ( t ). T1

T2

上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续 ， 并且设 x 上的一点， 为[a , b]上的一点， 考察定积分

∫a

x

f ( x )dx = ∫a f ( t )dt

x

上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对于 定积分有一个对应值， 每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以 上定义了一个函数， 它在[a , b ]上定义了一个函数，

记 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt .a

x

积分上限函数

积分上限函数的性质定理1 上连续， 定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 上具有导数， 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数 ， 且它的导x

d x 数是 Φ ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx y x + x 证 Φ ( x + x ) = ∫ f ( t )dt a

(a ≤ x ≤ b)

Φ = Φ( x + x ) Φ( x )=∫x + x a

Φ(x)

f ( t )dt ∫ f ( t )dta

x

o

a

x

x + x b

x

= ∫a f ( t )dt + ∫x=∫x + x x

x

x + x

f ( t )dt ∫a f ( t )dty

x

f ( t )dt ,Φ(x)

由积分中值定理得

Φ = f (ξ ) x Φ = f (ξ ), x

ξ ∈ [ x , x + x ],

o

a

xξ x + x b

x

Φ lim = lim f (ξ ) x → 0 x x → 0∴ Φ′( x ) = f ( x ).

x → 0, ξ → x

定理2. 定理 若x a

则变上限函数

Φ(x) = ∫ f (t) d t

说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .

2) 其他变限积分求导:

d ( x) ∫a f (t) d t = f [ (x)] ′(x) dx ( x) d ( x) d a f (t) d t = f (t) d t + ∫ f (t) d t ∫ψ (x) a dx dx ∫ψ ( x) = f [ (x)] ′(x) f [ψ (x)]ψ ′(x)

例1 求函数 ∫ sin tdt的导数x

3x

例2

∫e limx→0

1

t 2 2

cos x

dt .x t3

x

例 3 求函数 I ( x ) = ∫ te dt的极值0

二、牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式定理 3(微积分基本公式) 微积分基本公式)

如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则 ∫a f ( x )dx = F ( b ) F ( a ) . 的一个原函数，证 Q 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数， 的一个原函数，又Q Φ ( x ) =b

∫a

x

f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数 的一个原函数,

∴ F ( x ) Φ( x ) = C

x ∈ [a , b ]

令 x=a a

F (a ) Φ(a ) = C ,

Q Φ(a ) = ∫a f ( t )dt = 0 F (a ) = C ,Q F ( x )

∫a f ( t )dt = C , ∴x

∫a

x

f ( t )dt = F ( x ) F (a ),

令x = b

∫a f ( x )dx = F (b) F (a ).牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式

b

∫a f ( x)dx = F(b) F(a) = [F( x)]b

b a

微积分基本公式表明： 微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 上的增量. 它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量

求定积分问题转化为求原函数的问题. 求定积分问题转化为求原函数的问题 注意 当a > b 时， ∫ f ( x )dx = F ( b ) F ( a ) 仍成立 仍成立. ab

例4 解

求 ∫ ( 2 cos x + sin x 1)dx .02 原式 = [2 sin x cos x x ]0 = 3 .

π 2

π

2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 , 求 ∫0 f ( x )dx . 例5 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5

π 2

解

∫0

2

f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx

1

2

y

在[1, 2]上规定当 x = 1 时， f ( x ) = 5 ,

原式 = ∫ 2 xdx + ∫ 5dx = 6.0 1

1

2

o

1

2

x

例7 解

求 ∫ 2

1

1 dx . x

1 的一个原函数是 ln | x |, x 1 1 dx = [ln | x |] 1 = ln 1 ln 2 = ln 2. ∫ 2 x 2

例 8 计算曲线 y = sin x 在[0, π]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积解 面积 A = ∫ sin xdx0 πy

= [ cos x ] = 2.π 0

o

π

x