有限元方法考试重点

邵阳学院有限元考试重点

有限元方法是通过求解联立代数方程组进行问题求解的，而不是求解微分方程。数值法可以求解出连续体中多个离散点未知量的近似值。通过将物体划分为由小物体或单元组成的等价系统而进行物体建模的过程称为离散化，多个单元通常在公共点、边界线或表面相互连接。有限元方法并非一次性求解整个物体，而是通过为每一个有限元建立方程，并进而组合这些方程而对物体进行求解。

有限元方法的步骤：1、离散化和选择单元类型2、选择位移函数3、定义应变/位移和应力/应变的关系4、推导单元刚度矩阵和方程5、组合单元方程得出总体方程并引进边界条件6、解未知自由度7、求解单元应变和应力8、解释结果

有限元方法的优点：1、便于模拟不规则形状的结构2、易于处理一般载荷条件3、因为单元方程是单个建立的，所以可以模拟由几种不同材料构成的物体4、能够处理各种数量和类型的边界条件5、单元的大小是可变的，必要时可以使用小单元6、改变有限元模型比较容易，代价不大7、可包括动力效应8、可处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。

最小势能原理：在一个物体可能呈现的所有几何形状中，与满足该物体稳定平衡相对应的真实的形状由总势能最小值确定。

选择位移近似函数：1、考虑刚体位移和单元内的常应变状态2、杆单元内部应是连续的3、函数通常为多项式4、离散单元每节点所有自由度连续，二位三维单元公共边界和面连续 棱柱形单轴杆的弹簧常数：k=AE/L扭转弹簧常数：k=JG/L；J极惯性矩G材料剪切模量 三维桁架流程图：开始、画出几何形状并应用力和边界条件、定义单元类型和属性、令JE=1，NELE、计算单元刚度矩阵[k]、利用直接刚度程序将[k]加入到组装刚度矩阵[K]和载荷矩阵{F}的适当位置、解[k]{d}={F}求{d}、计算杆单元的力和应力、输出结果、结束。

桁架计算机求解步骤：①几何建模②选择桁架单元③输入单元几何属性（面积A）④选择材料特性（弹性模量E）⑤固定边界条件添加约束⑥施加节点载荷⑦模型选择性检查⑧分析每个单元的应力⑨选择与具体分析相关的结果。

等功法：即一组离散荷载代替分布荷载。原理：对于任意节点位移，分布载荷 (x)通过位移场v(x)所做的功，等于节点荷载fiy和mi通过节点位移vi和 i所做的功。

梁是一个长且细的结构单元，通常受横向荷载的作用，产生显著的弯曲效果，而不是扭转或轴向形变效果。

梁理论解>有限元解：通常正如有限元预计的，除节点之外，用三次函数计算的位移低于理论得出的值，对受分布载荷的梁，用三次函数进行模拟出的有限元结果将总是小于理论结果。 平面应力：一种应力状态。几何条件：单元厚度很薄。荷载条件：载荷只作用在x-y平面内 平面应变：一种应变状态。几何条件：长度很长且横截面固定。荷载条件：垂直于x-y平面的应变εz=0及剪切应变γxz=0和γyz=0

当泊松比v接近0.5时材料变的不可压缩，对于平面应变而言，材料性能矩阵的分母变为零因此刚度方程矩阵方程分母为零，可以引起病态结构方程，这种情况下要利用补偿公式。 CST与经典梁理论比较：扰度小所以行为更稳定、因为只考虑了每个单元内部的常应力，而事实上应力沿梁程线性变化，所以收敛速度慢。

分片检验能满足的要求：①没有应变而有刚体运动时，能够预测其发生②如果常应变发生，能够预测其发生③在相邻单元存在常应变的情况下，与相邻单元兼容。

平面应力流程图：①开始②画几何图形，应用外力和边界条件③定义单元类型和几何性质④DO JE=1，NELE⑤在全局坐标下计算单元刚度矩阵{k}和荷载量{f}⑥如果单元有内部自由度则进行静态凝聚⑦使用直接刚度过程将{k}和{f}加入到{K}和{F}适当位置⑧解

[K]{d}={F}for{d}计算单元应力⑨输出结果⑩结束

计算机：①选择单元类型②选择材料属性③几何建模④创建模型网格⑤添加约束⑥施加载荷⑦模型校核⑧应力分析⑨选择结果（位移图、主应力图、米泽斯应力图）

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一、弹簧单元：①每个单元的矩阵[k]；②总刚度矩阵[K]；③{F}=[K]{d}；④求节点位移u；⑤再列{F}=[K]{d}求F；⑥分别求每个单元的的f

二、杆单元：①列表：单元（1 2 3） CSC2S2CS注：C cos S sin ； C2

AE ②列每个单元[k]

求位移u、v；⑤[C'] CSS2 C2 CSC2 CS u1 F1x u1 2 F1y v1 Sv1；③求总矩阵[K]④ F [K] u uCS 2 2x 2 2S ... v2 ... E[ C SCS]求每个杆单元{ } [C']{d} L

三、平面单元：① i yj ym j ym yi m yi yj；ri xm xj rj xi xm rm xj xi 2A xi i xj j xm m i1 ②、[B] 02A ri0ri j0rj0rj m0 i j 0 E 1vT v10 ④[B][D] 0rm③[D] 2 (1 v) 1 v rm m 00

⑤[K] tA[B]T[D][B] ⑥{F}=[K]{d}求u v ⑦{ } [D][B][d]